Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie D, sous-parties II et III (Q31 à Q38) : Vitesse de meilleure approximation et caractérisation des fonctions höldériennes

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $α \in] 0, 1 [$ , $H_{2 π}^{α}$ est l'ensemble des fonctions $α$ -höldériennes et $2 π$ -périodiques de $R$ dans $C$ . Pour $f \in C_{2 π}^{0}$ , on pose $δ_{n} (f) = in f_{p \in T_{n}} ∥ f - p ∥_{\infty}$ .
Q31. Montrer que $H_{2 π}^{α}$ est un sous-espace vectoriel de $C_{2 π}^{0}$ .
Q32. Si $g \in H_{2 π}^{α}$ , montrer que $δ_{n} (g) = O (1/ n^{α})$ .
Réciproque : on fixe $α \in] 0, 1 [$ , $f \in C_{2 π}^{0}$ et $C > 0$ tels que $δ_{n} (f) ⩽ C / n^{α}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q33. Montrer qu'il existe $q_{n} \in T_{n}$ tel que $δ_{n} (f) = ∥ f - q_{n} ∥_{\infty}$ .
Pour $n \in N$ , on choisit $p_{n} \in T_{2^{n}}$ tel que $∥ f - p_{n} ∥_{\infty} = δ_{2^{n}} (f)$ .
Q34. Avec Q25, montrer qu'il existe $C^{'} > 0$ tel que $∥ p_{n + 1}^{'} - p_{n}^{'} ∥_{\infty} ⩽ C^{'} 2^{n (1 - α)}$ pour tout $n$ .
Q35. En déduire $∥ p_{n}^{'} ∥_{\infty} ⩽ ∥ p_{0}^{'} ∥_{\infty} + \frac{C ^{'}}{2 ^{1 - α} - 1} 2^{n (1 - α)}$ .
Q36. En déduire $A > 0$ tel que $∥ p_{n}^{'} ∥_{\infty} ⩽ A 2^{(1 - α) n}$ pour tout $n$ .
Q37. Montrer que $∣ f (x) - f (y) ∣ ⩽ C 2^{1 - n α} + A 2^{(1 - α) n} ∣ x - y ∣$ pour tous $x, y$ réels et $n \in N$ .
Q38. En déduire que $f$ est $α$ -höldérienne (pour $0 < ∣ x - y ∣ ⩽ 1$ , choisir $n$ tel que $2^{- n - 1} ⩽ ∣ x - y ∣ ⩽ 2^{- n}$ ).

Corrigé

Q31. Inclusion. Une fonction $g \in H_{2 π}^{α}$ , de constante $K$ , est continue : pour $x$ fixé, $∣ g (y) - g (x) ∣ ⩽ K ∣ y - x ∣^{α} \to 0$ quand $y \to x$ , car $α > 0$ . Elle est $2 π$ -périodique, donc $g \in C_{2 π}^{0}$ .

Non vide. La fonction nulle vérifie la définition avec $K = 1$ .

Stabilité par combinaison linéaire. Soient $g_{1}, g_{2} \in H_{2 π}^{α}$ de constantes $K_{1}, K_{2}$ , et $λ \in C$ . La fonction $λ g_{1} + g_{2}$ est $2 π$ -périodique et, pour tous $x, y$ ,

$∣ (λ g_{1} + g_{2}) (x) - (λ g_{1} + g_{2}) (y) ∣ ⩽ ∣ λ ∣ ∣ g_{1} (x) - g_{1} (y) ∣ + ∣ g_{2} (x) - g_{2} (y) ∣ ⩽ (∣ λ ∣ K_{1} + K_{2}) ∣ x - y ∣^{α},$

avec $∣ λ ∣ K_{1} + K_{2} > 0$ . Donc $λ g_{1} + g_{2} \in H_{2 π}^{α}$ , qui est un sous-espace vectoriel de $C_{2 π}^{0}$ .

Q32. Soit $g \in H_{2 π}^{α}$ , de constante $K$ . Pour $h > 0$ et $∣ t - s ∣ ⩽ h$ , $∣ g (s) - g (t) ∣ ⩽ K ∣ s - t ∣^{α} ⩽ K h^{α}$ , donc $ω_{g} (h) ⩽ K h^{α}$ . Par Q16b et Q15b, pour $m \in N^{*}$ , $T_{m} g \in T_{2 m}$ et

$δ_{2 m} (g) ⩽ ∥ g - T_{m} g ∥_{\infty} ⩽ b ω_{g} (1/ m) ⩽ \frac{b K}{m ^{α}} .$

Pour passer de $δ_{2 m}$ à $δ_{n}$ : les $T_{n}$ croissent avec $n$ , donc $δ_{n} (g)$ décroît avec $n$ (une borne inférieure sur un ensemble plus grand est plus petite). Soit $n ⩾ 2$ et $m = ⌊ n /2 ⌋ ⩾ 1$ ; on a $2 m ⩽ n$ , donc $T_{2 m} \subset T_{n}$ , et $m ⩾ \frac{n - 1}{2} ⩾ \frac{n}{4}$ (la dernière inégalité équivaut à $n ⩾ 2$ ). Alors

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