Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie A.I (Q1 à Q4) : Série géométrique, dérivation terme à terme et développement limité : la valeur -1/12

Q1. Pour $x\in \mathbb{R}$, la série $\sum {\mathrm{e}}^{-nx}=\sum q^n$ est géométrique de raison $q={\mathrm{e}}^{-x}>0$. Une série géométrique converge si et seulement si $|q|<1$ ; ici $|q|={\mathrm{e}}^{-x}<1⟺x>0$. Pour $x⩽0$, ${\mathrm{e}}^{-nx}⩾1$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement (c'est la même conclusion). Donc

$$D_f=]0,+\infty [\text{et}\forall x>0,f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }({\mathrm{e}}^{-x}{)}^n=\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-x}}.$$

Q2. Sur $]0,+\infty [$, $x\mapsto 1-{\mathrm{e}}^{-x}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et ne s'annule pas (${\mathrm{e}}^{-x}<1$). Donc $f=\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-x}}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $D_f$ comme inverse d'une fonction ${\mathcal{C}}^1$ qui ne s'annule pas, et, en dérivant $u^{-1}$ avec $u(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$, $u^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ :