Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie A.II.1 (Q5 à Q8) : Sommes de Riemann à pas quelconque pour une fonction de classe C1

Dans cette sous-partie, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un segment $[a,b]$ ($a<b$) et $x$ est un réel strictement positif. On note $N=\lfloor \frac{b-a}{x}\rfloor$.

Q5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $a+nx\in ]a,b]$.
Q6. Montrer que pour tout $L⩾0$, $|L-\lfloor \frac{L}{x}\rfloor x|⩽x$.
Q7. Montrer que

$$x\sum _{n=1}^{N}f(a+nx)-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^N{\int }_{a+(n-1)x}^{a+nx}(f(a+nx)-f(t))\mathrm{d}t-{\int }_{a+Nx}^{b}f(t)\mathrm{d}t.$$

Q8. Montrer que $x{\sum }_{n=1}^{N}f(a+nx)$ tend vers ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ quand $x\to 0$.