Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie A.II.2 (début) (Q9 à Q14) : Fonction à support compact : formule de Taylor avec reste intégral et majoration des restes

$\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^{+}$, $\phi (0)=1$, et $\phi$ est nulle sur $[K,+\infty [$ pour un $K>0$. On pose $\psi (t)=t\phi (t)$ : $\psi$ et toutes ses dérivées sont nulles sur $[K,+\infty [$. Pour $x>0$, on note $N=\lfloor K/x\rfloor$ et, pour $k,l\in \mathbb{N}$,

$$R_{k,l}(x)=\sum _{n=1}^N{\int }_{(n-1)x}^{nx}({\int }_{nx}^t\frac{(t-s{)}^k}{k!}{\psi }^{(k+l)}(s)\mathrm{d}s)\mathrm{d}t.$$

La formule de Taylor avec reste intégral est admise.

Q9. Calculer ${\int }_0^K{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ et ${\int }_0^K{\psi }^{\prime \prime }(t)\mathrm{d}t$.
Q10. Déterminer les limites en $0$ de $x{\sum }_{n=1}^{N}nx\phi (nx)$, de $x{\sum }_{n=1}^N{\psi }^{\prime }(nx)$ et de $x{\sum }_{n=1}^N{\psi }^{\prime \prime }(nx)$.
Q11. Montrer que ${\psi }^{(l)}(t)={\int }_K^t\frac{(t-s{)}^k}{k!}{\psi }^{(l+k+1)}(s)\mathrm{d}s$ pour tous $k,l\in \mathbb{N}$, $t⩾0$.
Q12. Montrer que $\frac{1}{x^k}{\int }_{Nx}^K{\psi }^{(l)}(t)\mathrm{d}t\to 0$ quand $x\to 0$.
Q13. Montrer que $\frac{R_{k,l}(x)}{x^k}\to 0$ quand $x\to 0$.
Q14. Montrer que pour $l\in \mathbb{N}$ et $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$$\sum _{n=1}^N{\int }_{(n-1)x}^{nx}({\psi }^{(l)}(t)-{\psi }^{(l)}(nx))\mathrm{d}t=\sum _{k=1}^p\sum _{n=1}^N{\int }_{(n-1)x}^{nx}\frac{(t-nx{)}^k}{k!}{\psi }^{(k+l)}(nx)\mathrm{d}t+R_{p,l+1}(x).$$