Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie A.II.2 (fin) (Q15 à Q20) : Développement asymptotique de la somme des n phi(nx) : A/x² - 1/12 + o(1)

Q15. On applique Q14 avec $l=0$ et $p=2$ :

$$D(x)=\sum _{n=1}^N{\psi }^{\prime }(nx){\int }_{(n-1)x}^{nx}(t-nx)\mathrm{d}t+\sum _{n=1}^N{\psi }^{\prime \prime }(nx){\int }_{(n-1)x}^{nx}\frac{(t-nx{)}^2}{2}\mathrm{d}t+R_{2,1}(x),$$

les valeurs ${\psi }^{(k)}(nx)$ étant constantes en $t$. Les deux intégrales se calculent par primitive :

$${\int }_{(n-1)x}^{nx}(t-nx)\mathrm{d}t=[\frac{(t-nx{)}^2}{2}{]}_{(n-1)x}^{nx}=0-\frac{x^2}{2}=-\frac{x^2}{2},$$

$${\int }_{(n-1)x}^{nx}\frac{(t-nx{)}^2}{2}\mathrm{d}t=[\frac{(t-nx{)}^3}{6}{]}_{(n-1)x}^{nx}=0-\frac{(-x{)}^3}{6}=\frac{x^3}{6}.$$

Donc $D(x)=-\frac{x^2}{2}{\sum }_{n=1}^N{\psi }^{\prime }(nx)+\frac{x^3}{6}{\sum }_{n=1}^N{\psi }^{\prime \prime }(nx)+R_{2,1}(x)$, et l'on divise par $x^2>0$ :

$$\frac{D(x)}{x^2}=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N{\psi }^{\prime }(nx)+\frac{x}{6}\sum _{n=1}^N{\psi }^{\prime \prime }(nx)+\frac{R_{2,1}(x)}{x^2}.$$

Q16. C'est Q7 appliquée à ${\psi }^{\prime }$ sur $[0,K]$ (fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$), avec $\lfloor \frac{K-0}{x}\rfloor =N$ :

$$x\sum _{n=1}^N{\psi }^{\prime }(nx)-{\int }_0^K{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^N{\int }_{(n-1)x}^{nx}({\psi }^{\prime }(nx)-{\psi }^{\prime }(t))\mathrm{d}t-{\int }_{Nx}^K{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t,$$

et ${\int }_0^K{\psi }^{\prime }=0$ par Q9. D'où l'égalité demandée.

Q17. On applique Q14 avec $l=1$ et $p=1$ ; le calcul de Q15 donne ${\int }_{(n-1)x}^{nx}(t-nx)\mathrm{d}t=-\frac{x^2}{2}$, donc