Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie B.I (Q21 à Q26) : Polynômes de Bernoulli et formule d'Euler-Maclaurin

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R^{+}$ . Les polynômes de Bernoulli $(B_{p})_{p \in N}$ sont définis par $B_{0} = 1$ et, pour $p \in N^{*}$ , $B_{p}^{'} = p B_{p - 1}$ et $\int_{0}^{1} B_{p} (x) d x = 0$ (existence et unicité admises ici). On pose $b_{p} = B_{p} (0)$ et $B_{p} (x) = B_{p} (x - ⌊ x ⌋)$ (fonction $1$ -périodique égale à $B_{p}$ sur $[0, 1 [$ ), puis $r_{p, a} = \int_{1}^{a} \frac{B _{p} ( t )}{p !} f^{(p)} (t) d t$ .

Q21. Déterminer $B_{1}$ et $B_{2}$ .
Q22. Montrer que $B_{p} (1 - X) = (- 1)^{p} B_{p} (X)$ pour tout $p \in N$ .
Q23. Montrer que $b_{p} = B_{p} (1)$ pour $p ⩾ 2$ , et $b_{p} = 0$ pour $p ⩾ 3$ impair.
Q24. Montrer que pour $p, k \in N$ ,

$\int_{k}^{k + 1} \frac{f ^{(p)} ( t )}{p !} B_{p} (t) d t = \frac{B _{p + 1} ( 1 ) f ^{(p)} ( k + 1 ) - B _{p + 1} ( 0 ) f ^{(p)} ( k )}{( p + 1 )!} - \int_{k}^{k + 1} \frac{B _{p + 1} ( t )}{( p + 1 )!} f^{(p + 1)} (t) d t .$

Q25. Montrer que $f (1) + \dots + f (n) = \int_{1}^{n} f (t) d t + \frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2} + r_{1, n}$ pour $n \in N^{*}$ .
Q26. Montrer que pour $p, n \in N^{*}$ ,

$f (1) + \dots + f (n) = \int_{1}^{n} f (t) d t + \frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2} + l = 1 \sum p \frac{b _{2 l}}{( 2 l )!} (f^{(2 l - 1)} (n) - f^{(2 l - 1)} (1)) + r_{2 p + 1, n} .$

Corrigé

Q21. $B_{1}^{'} = 1 \cdot B_{0} = 1$ , donc $B_{1} = X + c$ ; la condition $\int_{0}^{1} B_{1} = \frac{1}{2} + c = 0$ impose $c = - \frac{1}{2}$ . Puis $B_{2}^{'} = 2 B_{1} = 2 X - 1$ , donc $B_{2} = X^{2} - X + c^{'}$ et $\int_{0}^{1} B_{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + c^{'} = 0$ impose $c^{'} = \frac{1}{6}$ :

$B_{1} = X - \frac{1}{2}, B_{2} = X^{2} - X + \frac{1}{6} .$

Q22. Montrons par récurrence sur $p \in N$ la propriété $H_{p}$ : « $B_{p} (1 - X) = (- 1)^{p} B_{p} (X)$ ».

Initialisation. $B_{0} (1 - X) = 1 = (- 1)^{0} B_{0} (X)$ .

Hérédité. Soit $p \in N^{*}$ tel que $H_{p - 1}$ soit vraie. Posons $D = B_{p} (X) - (- 1)^{p} B_{p} (1 - X)$ . En dérivant (règle de la composée, la dérivée de $1 - X$ valant $- 1$ ) puis en utilisant $H_{p - 1}$ :

$D^{'} = p B_{p - 1} (X) + (- 1)^{p} p B_{p - 1} (1 - X) = p B_{p - 1} (X) + (- 1)^{p} (- 1)^{p - 1} p B_{p - 1} (X) = 0.$

Donc $D$ est un polynôme constant, égal à son intégrale sur $[0, 1]$ . Or, par le changement de variable $u = 1 - x$ , $\int_{0}^{1} B_{p} (1 - x) d x = \int_{0}^{1} B_{p} (u) d u = 0$ , et $\int_{0}^{1} B_{p} = 0$ ( $p ⩾ 1$ ). Donc $D = 0$ : $H_{p}$ est vraie.

Ce que le correcteur attend : la constante d'intégration n'est pas oubliée ; c'est la condition de moyenne nulle qui l'annule.

Q23. Soit $p ⩾ 2$ . Par le théorème fondamental de l'analyse et la définition,

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