Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie B.II (Q27 à Q29) : Constante de Ramanujan : somme de 1, de k et de k², lien avec la somme usuelle

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de B.I ( $B_{p}$ , $b_{p}$ , $B_{p}$ , $r_{p, a}$ ). On suppose qu'il existe $q \in N$ tel que, pour tout $p ⩾ q$ , $f^{(2 p + 1)}$ soit intégrable sur $R^{+}$ et tende vers $0$ en $+ \infty$ . On pose, sous réserve d'existence, pour $p \in N$ (somme vide si $p = 0$ ),

$C_{p} = \frac{f ( 1 )}{2} - \int_{0}^{1} f (t) d t - l = 1 \sum p \frac{b _{2 l}}{( 2 l )!} f^{(2 l - 1)} (1) + \int_{1}^{+ \infty} \frac{B _{2 p + 1} ( t )}{( 2 p + 1 )!} f^{(2 p + 1)} (t) d t .$

Q27. Montrer que, pour $p ⩾ q$ , $C_{p}$ est bien défini et ne dépend pas de $p$ . On note $\sum_{k ⩾ 1}^{R} f (k)$ cette valeur commune.
Q28. Déterminer $\sum_{k ⩾ 1}^{R} 1$ , $\sum_{k ⩾ 1}^{R} k$ et $\sum_{k ⩾ 1}^{R} k^{2}$ .
Q29. On suppose $q = 0$ et $f (n) \to 0$ . Montrer que $\sum_{k ⩾ 1}^{R} f (k) = lim_{n \to + \infty} (\sum_{k = 1}^{n} f (k) - \int_{0}^{n} f (t) d t)$ . Qu'obtient-on si $\int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ converge ?

Corrigé

Q27. Bonne définition. Soit $p ⩾ q$ . La fonction $f$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , donc $\int_{0}^{1} f$ existe. La fonction $B_{2 p + 1}$ est $1$ -périodique et égale au polynôme $B_{2 p + 1}$ sur $[0, 1 [$ : elle est continue par morceaux sur $R^{+}$ et bornée par $M_{p} = sup_{[0, 1]} ∣ B_{2 p + 1} ∣$ (bornes atteintes sur un segment). Ainsi $t \mapsto \frac{B _{2 p + 1} ( t )}{( 2 p + 1 )!} f^{(2 p + 1)} (t)$ est continue par morceaux sur $[1, + \infty [$ et

$\frac{B _{2 p + 1} ( t )}{( 2 p + 1 )!} f^{(2 p + 1)} (t) ⩽ \frac{M _{p}}{( 2 p + 1 )!} f^{(2 p + 1)} (t) .$

Comme $f^{(2 p + 1)}$ est intégrable sur $R^{+}$ (hypothèse, $p ⩾ q$ ), la règle de comparaison pour les fonctions positives montre que l'intégrande est intégrable sur $[1, + \infty [$ : l'intégrale converge absolument et $C_{p}$ est bien défini.

Indépendance vis-à-vis de $p$ . Soit $p ⩾ q$ ; alors $p + 1 ⩾ q$ , donc $C_{p}$ et $C_{p + 1}$ sont bien définis. La relation $(* *)$ établie en Q26, avec $l = p + 1$ , s'écrit pour tout $n \in N^{*}$ :

$r_{2 p + 1, n} = \frac{b _{2 p + 2}}{( 2 p + 2 )!} (f^{(2 p + 1)} (n) - f^{(2 p + 1)} (1)) + r_{2 p + 3, n} .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →