Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie C.I (début) (Q30 à Q36) : Polynômes associés à une forme linéaire continue et série génératrice, cas de Bernoulli

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$E = C ([0, 1])$ est muni de la norme uniforme $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . On admet qu'une forme linéaire $φ$ sur $E$ est continue si et seulement s'il existe $C ⩾ 0$ tel que $∣ φ (g) ∣ ⩽ C ∥ g ∥_{\infty}$ pour tout $g \in E$ . Soit $φ$ une forme linéaire continue sur $E$ telle que $φ (t \mapsto 1) = 1$ . On définit $P_{0} = 1$ et, pour $n \in N^{*}$ , $P_{n}^{'} = n P_{n - 1}$ et $φ (P_{n}) = 0$ . On pose, sous réserve d'existence, $S (x, t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P _{k} ( x )}{k !} t^{k}$ pour $x \in [0, 1]$ , $t \in R$ .

Q30. Montrer que la suite $(P_{n})$ existe et est unique.
Q31. Montrer qu'il existe $C \in R^{+}$ tel que $∥ P_{n + 1} ∥_{\infty} ⩽ (n + 1) (1 + C) ∥ P_{n} ∥_{\infty}$ pour tout $n$ .
Q32. Montrer qu'il existe $R > 0$ tel que $S (x, t)$ existe pour $x \in [0, 1]$ et $t \in] - R, R [$ .
Q33. Montrer que, pour $t \in] - R, R [$ , $x \mapsto S (x, t)$ est de classe $C^{1}$ sur $[0, 1]$ .
Q34. Montrer qu'il existe $α (t)$ tel que $S (x, t) = α (t) e^{t x}$ pour tout $x \in [0, 1]$ .
Q35. Montrer que $φ (x \mapsto S (x, t)) = 1$ et en déduire $α (t)$ .
Q36. Justifier l'existence et l'unicité des polynômes de Bernoulli $B_{n}$ de B.I et montrer que, pour $x \in [0, 1]$ , la fonction $g (t) = \frac{t e ^{t x}}{e ^{t} - 1}$ (prolongée par $g (0) = 1$ ) est développable en série entière en $0$ , avec $g (t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{B _{k} ( x )}{k !} t^{k}$ .

Corrigé

Q30. Montrons par récurrence sur $n$ que $P_{0}, \dots, P_{n}$ existent et sont uniques. Pour $n = 0$ , $P_{0} = 1$ est imposé. Soit $n \in N^{*}$ et supposons $P_{0}, \dots, P_{n - 1}$ construits de façon unique. Posons $Q_{n} (X) = n \int_{0}^{X} P_{n - 1} (s) d s$ , polynôme (primitive d'un polynôme) vérifiant $Q_{n}^{'} = n P_{n - 1}$ . Les polynômes $P$ tels que $P^{'} = n P_{n - 1}$ sont exactement les $Q_{n} + c$ , $c \in R$ : deux polynômes de même dérivée diffèrent d'une constante. Pour un tel $P$ , par linéarité de $φ$ et puisque $φ (1) = 1$ ,

$φ (Q_{n} + c) = φ (Q_{n}) + c φ (1) = φ (Q_{n}) + c,$

qui est nul si et seulement si $c = - φ (Q_{n})$ . Il existe donc un et un seul polynôme convenable :

$P_{n} = Q_{n} - φ (Q_{n}), Q_{n} (X) = n \int_{0}^{X} P_{n - 1} (s) d s .$

Par récurrence, la suite $(P_{n})$ existe et est unique ; de plus $P_{n}$ est unitaire de degré $n$ .

Ce que le correcteur attend : le caractère polynomial de $P_{n}$ (primitive d'un polynôme) et un argument d'unicité complet : c'est la condition $φ (1) = 1 \neq = 0$ qui fixe la constante.

Q31. La forme $φ$ étant continue, il existe $C ⩾ 0$ tel que $∣ φ (g) ∣ ⩽ C ∥ g ∥_{\infty}$ pour tout $g \in E$ . Soit $n \in N$ . Pour $x \in [0, 1]$ ,

$∣ Q_{n + 1} (x) ∣ = (n + 1) \int_{0}^{x} P_{n} (s) d s ⩽ (n + 1) x ∥ P_{n} ∥_{\infty} ⩽ (n + 1) ∥ P_{n} ∥_{\infty},$

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