Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie C.I (fin) (Q37 à Q40) : Formules de Taylor généralisées par intégrations par parties successives

Notations de C.I : $\phi$ forme linéaire continue sur $E=\mathcal{C}([0,1])$ avec $\phi (1)=1$, polynômes $P_0=1$, $P_n^{\prime }=n{P}_{n-1}$, $\phi (P_n)=0$ ($n⩾1$). $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$.

Q37. Montrer que pour tous $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ et $p\in \mathbb{N}$,

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(y)+\sum _{k=1}^p(\frac{P_k(x)}{k!}{f}^{(k)}(y)-\frac{P_k(y)}{k!}{f}^{(k)}(x))\\ & +{\int }_y^x\frac{P_p(x+y-t)}{p!}{f}^{(p+1)}(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

Q38. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ et $p\in \mathbb{N}$,

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=0}^p\frac{P_k(x)}{k!}\phi (y\mapsto f^{(k)}(y))\\ & +\phi (y\mapsto {\int }_y^x\frac{P_p(x+y-t)}{p!}{f}^{(p+1)}(t)\mathrm{d}t).\end{array}$$

Q39. Justifier que $\phi :g\mapsto g(0)$ est continue sur $E$. Qu'obtient-on pour ce choix ?
Q40. Soit $j\in \mathbb{N}$. À l'aide de $x\mapsto f(x+j)$, montrer que pour $p\in \mathbb{N}$,

$$\begin{array}{rl}f(j)& =\sum _{k=0}^p\frac{P_k(0)}{k!}\phi (y\mapsto f^{(k)}(y+j))\\ & -\phi (y\mapsto {\int }_j^{y+j}\frac{P_p(y-t+j)}{p!}{f}^{(p+1)}(t)\mathrm{d}t).\end{array}$$