Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PSI — Partie C.II (Q41 à Q44) : Polynômes d'Euler, symétrie et formule d'Euler-Boole pour les sommes alternées

Désormais $\phi (g)=\frac{1}{2}(g(0)+g(1))$ pour $g\in E$ ; les polynômes $P_n$ associés (Q30) sont notés $E_n$ (polynômes d'Euler) et $e_n=E_n(0)$. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$.

Q41. Montrer qu'il existe $R>0$ tel que $\frac{2{\mathrm{e}}^{tx}}{{\mathrm{e}}^t+1}={\sum }_{k=0}^{+\infty }\frac{E_k(x)}{k!}{t}^k$ pour $t\in ]-R,R[$ et $x\in [0,1]$.
Q42. En déduire que $E_n(1-X)=(-1{)}^n{E}_n(X)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
Q43. Montrer que pour $j,p\in \mathbb{N}$,

$$f(j)=\sum _{k=0}^p\frac{1}{2}(f^{(k)}(j)+f^{(k)}(j+1))\frac{e_k}{k!}-\frac{1}{2}{\int }_j^{j+1}\frac{(-1{)}^p{E}_p(t-j)}{p!}{f}^{(p+1)}(t)\mathrm{d}t.$$

Q44. On pose ${\tilde{E}}_n(x)=(-1{)}^{\lfloor x\rfloor +n}{E}_n(x-\lfloor x\rfloor )$. Montrer que pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in \mathbb{N}$,

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^n(-1{)}^{j-1}f(j)& =\frac{1}{2}\sum _{k=0}^p{f}^{(k)}(1)\frac{e_k}{k!}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{2}\sum _{k=0}^p{f}^{(k)}(n+1)\frac{e_k}{k!}\\ & +\frac{1}{2}{\int }_1^{n+1}\frac{{\tilde{E}}_p(t)}{p!}{f}^{(p+1)}(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$