Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie A.I et A.II (Q1 à Q4) : Cellule TESLA dans l'hélium liquide : puissance dissipée, profil de température dans la paroi, résistance d'interface

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un laser à électrons libres (XFEL) comprend un canon à électrons, un accélérateur linéaire et un ondulateur. L'accélérateur est fait de cellules TESLA (neuf cavités supraconductrices en série, photographie de la figure 2 non reproduite), plongées dans un bain d'hélium liquide à $2, 0 K$ sous $31 kPa$ . Une puissance thermique, générée dans la cellule, traverse la paroi et vaporise l'hélium : l'hélium entre liquide à $2, 0 K$ et ressort vapeur à $2, 0 K$ .

{Figure 3 — Cellule TESLA dans son bain d'hélium (flèches épaisses : entrée du liquide, sortie de la vapeur)}

Q1. Le débit massique d'hélium liquide à injecter pour garder un volume de liquide constant vaut $D_{m} = 2 \times 1 0^{- 4} kg \cdot s^{- 1}$ . En déduire la puissance dissipée dans les parois ( $Δ_{v a p} h = 23, 4 kJ \cdot k g^{- 1}$ à $2, 0 K$ ).

La paroi, de conductivité thermique $κ$ , est modélisée en géométrie cartésienne 1D : elle occupe $0 \leq x \leq e$ ( $e = 2, 8 mm$ ), avec du vide en $x < 0$ et l'hélium liquide en $x > e$ ; pas de source interne ; $T_{s}$ est la température en $x = e$ .

Q2. Par un bilan sur un élément de volume décrit précisément, établir l'équation de la diffusion thermique dans la paroi en régime stationnaire.

On prend $j = j_{0} e_{x}$ uniforme et stationnaire dans la paroi, $j_{0} = 30 W \cdot m^{- 2}$ .

Q3. Exprimer $T (x)$ dans la paroi en fonction de $x$ , $κ$ , $j_{0}$ , $e$ , $T_{s}$ .

À l'interface paroi--hélium (température $T_{f}$ de l'hélium), $j_{0} = h (T_{s} - T_{f})$ avec $h > 0$ .

Q4. Exprimer $T (x = 0)$ en fonction de $e$ , $κ$ , $h$ , $j_{0}$ , $T_{f}$ . Applications numériques : cas 1 (matériau et surface de mauvaise qualité) $κ = 2, 0 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $h = 1, 0 \times 1 0^{2} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ; cas 2 (bonne qualité) $κ = 28 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $h = 2, 4 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ .

Corrigé

Q1. (Question à initiative.) Système : l'hélium contenu dans le bain, système ouvert ; on le suit en régime permanent : le volume de liquide est maintenu constant, donc tout ce qui entre par seconde ressort par seconde, avec le même débit massique $D_{m}$ (conservation de la masse). L'hélium entre liquide saturant et sort vapeur saturante, à la même température $2, 0 K$ et sous la même pression $31 kPa$ .

Loi : premier principe pour un système ouvert en écoulement stationnaire,

$D_{m} (Δ h + Δ e_{c} + g Δ z) = P_{t h} + P_{u} .$

Aucune pièce mobile ne fournit de travail utile ( $P_{u} = 0$ ) ; les variations d'énergie cinétique et potentielle massiques sont négligeables devant l'enthalpie de vaporisation. Entre l'entrée (liquide) et la sortie (vapeur) à $T$ et $p$ fixées, $Δ h = Δ_{v a p} h$ . La puissance thermique reçue par l'hélium est celle qui traverse les parois de la cellule :

$P = D_{m} Δ_{v a p} h = 2 \times 1 0^{- 4} \times 23, 4 \times 1 0^{3} \approx 4, 7 W \approx 5 W .$

(Le débit n'étant donné qu'à un chiffre significatif, on retient $P \approx 5 W$ .) Quelques watts seulement : c'est faible, mais à $2 K$ chaque watt extrait coûte, au mieux (rendement de Carnot d'une machine rejetant à $300 K$ ), $300/2 = 150 W$ de travail au réfrigérateur ; d'où l'importance de limiter ces pertes.

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