Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie A.III et A.IV (Q5 à Q11) : Cavité résonante cylindrique : équation de d'Alembert, modes de Bessel, champ magnétique à la paroi, choix du niobium

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La cavité est modélisée par une coquille cylindrique supraconductrice d'axe $(O z)$ , de rayon intérieur $R$ , d'épaisseur $e$ , infinie selon $z$ , remplie de vide. En un point $M$ du vide (coordonnées cylindriques), on admet $E = E (r, t) e_{z}$ et $B = B (r, t) e_{θ}$ .

{Figure 4 — Section droite de la cavité}

Q5. Montrer que $E$ vérifie dans le vide $Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0$ .

On cherche une onde stationnaire $E (r, t) = E_{0} ξ (t) ψ (r)$ ( $E_{0}$ homogène à un champ, $ξ$ et $ψ$ sans dimension).

Q6. Montrer que $ξ ¨ - A ξ = 0$ et $ψ^{''} + \frac{1}{r} ψ^{'} - \frac{A}{c ^{2}} ψ = 0$ avec $A$ constante réelle ; justifier que $A < 0$ .

On pose $A = - ω^{2}$ , $k = ω / c$ , et on admet $ξ (t) = - sin (ω t)$ , $ψ (r) = J_{0} (k r)$ (fonction de Bessel, courbe ci-dessous). Les premières racines de $J_{0}$ sont $x_{01} = 2, 405$ , $x_{02} = 5, 520$ , $x_{03} = 8, 654$ ; le formulaire définit $J_{1} = d J_{0} / d x$ . Le supraconducteur impose $E = 0$ en $r = R$ .

{Formulaire — Courbes de $J_{0}$ et $J_{1}$ données par le sujet}

Q7. Exprimer les trois plus petites pulsations $ω_{1}$ , $ω_{2}$ , $ω_{3}$ en fonction de $R$ , $x_{01}$ , $x_{02}$ , $x_{03}$ , $c$ .
Q8. Pour le XFEL européen, $ω_{1} = 2 π \times 1, 3 \times 1 0^{9} rad \cdot s^{- 1}$ . En déduire $R$ .
Q9. Exprimer le champ magnétique pour la pulsation $ω_{1}$ en fonction de $J_{1}$ , $E_{0}$ , $c$ , $r$ , $ω_{1}$ , $t$ (valeur moyenne temporelle nulle).
Q10. Avec $E_{0} = 50 MV \cdot m^{- 1}$ , en déduire l'amplitude du champ magnétique en $r = R$ .

Ce champ magnétique variable induit des courants de surface dans la paroi ; sa faible résistance surfacique est l'origine de la puissance dissipée étudiée en Q1--Q4. La paroi cesse d'être supraconductrice si $T > T_{c}$ ou si le champ magnétique dépasse $B_{c}$ :

matériau	$T_{c}$ (K)	$B_{c}$ (mT)
plomb (Pb)	$7, 1$	$80$
niobium (Nb)	$9, 2$	$200$
YBaCuO ( $Y_{1, 2} B a_{0, 8} Cu O_{4}$ )	$93$	$10$

{Tableau 1}

Q11. À l'aide de Q4 et Q10, choisir le matériau le plus adapté aux parois.

Corrigé

Q5. Dans le vide de la cavité, $ρ = 0$ et $j = 0$ : les équations de Maxwell s'écrivent $div E = 0$ , $div B = 0$ , $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ (Maxwell-Faraday), $rot B = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial E}{\partial t}$ (Maxwell-Ampère, $μ_{0} ε_{0} = 1/ c^{2}$ ).

Prenons le rotationnel de Maxwell-Faraday ; les dérivations d'espace et de temps commutent :

$rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} rot B = - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Avec la formule du formulaire, $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - Δ E$ puisque $div E = 0$ . D'où l'équation de d'Alembert vectorielle $Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0$ .

Passage au scalaire (point signalé par le jury) : $E = E e_{z}$ et le vecteur $e_{z}$ est fixe (indépendant du point, contrairement à $e_{r}$ et $e_{θ}$ ) ; le laplacien vectoriel agit donc composante par composante en cartésiennes, et $Δ (E e_{z}) = (Δ E) e_{z}$ . En projetant sur $e_{z}$ :

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, Δ E = \frac{\partial ^{2} E}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial E}{\partial r}$

(le champ ne dépend ni de $θ$ ni de $z$ ).

Variante avec le formulaire, qui servira en Q9 : $rot (E e_{z}) = - \frac{\partial E}{\partial r} e_{θ}$ , donc Maxwell-Faraday donne $\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{\partial E}{\partial r}$ ; $rot (B e_{θ}) = \frac{1}{r} \frac{\partial ( r B )}{\partial r} e_{z}$ , donc Maxwell-Ampère donne $\frac{1}{r} \frac{\partial ( r B )}{\partial r} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial E}{\partial t}$ . En dérivant la seconde par rapport à $t$ et en y reportant la première : $\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial E}{\partial r}) = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$ , qui est la même équation.

Q6. En reportant $E = E_{0} ξ (t) ψ (r)$ dans l'équation de Q5 :

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