Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie A.V (Q12 à Q18) : Électron relativiste dans la cavité : facteur de Lorentz, gain d'énergie par cavité, longueur de l'accélérateur

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Données : $e = 1, 60 \times 1 0^{- 19} C$ , $m_{e} = 9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ , $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ , $1 eV = 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ .

Q12. Les champs électriques accélérateurs sont de l'ordre de $10 MV \cdot m^{- 1}$ : vérifier que le poids est négligeable devant la force électrique.

Facteur de Lorentz : $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ . Formulaire de relativité (référentiel galiléen, force $F$ électrique ou magnétique d'expression classique) : $E_{c} = (γ - 1) m c^{2}$ ; $\frac{d ( γ m v )}{d t} = F$ ; théorème de la puissance cinétique $\frac{d E _{c}}{d t} = F \cdot v$ .

Q13. Montrer que, pour $v$ proche de $c$ , $1 - \frac{v}{c} = \frac{1}{2 γ ^{2}}$ .
Q14. Retrouver l'énergie cinétique classique pour $v ≪ c$ .
Q15. Calculer les valeurs manquantes du tableau 2.

$E_{c}$ (eV)	$1 \times 1 0^{8}$	$1 \times 1 0^{9}$	$5 \times 1 0^{9}$	$1 \times 1 0^{10}$	$2 \times 1 0^{10}$
$γ$	$2 \times 1 0^{2}$	$2 \times 1 0^{3}$	$1 \times 1 0^{4}$	$2 \times 1 0^{4}$	?
$1 - v / c$	$1, 3 \times 1 0^{- 5}$	$1, 3 \times 1 0^{- 7}$	$5, 3 \times 1 0^{- 9}$	$1, 3 \times 1 0^{- 9}$	?

{Tableau 2 — Grandeurs cinétiques d'un électron}

La cavité est désormais limitée par deux plaques supraconductrices en $z = \pm H /2$ , percées sur l'axe ; le champ est nul à l'extérieur et, sur l'axe, $E (r = 0, t) = - E_{0} sin (ω_{1} t) e_{z}$ avec $ω_{1} = 2 π \times 1, 3 \times 1 0^{9} rad \cdot s^{- 1}$ et $E_{0} = 50 MV \cdot m^{- 1}$ . Un électron entre à $t = 0$ en $r = 0$ , $z = - H /2$ , avec $v = c e_{z}$ ; sa vitesse reste pratiquement égale à $c$ (seule son énergie cinétique varie) et il sort en $z = H /2$ à $t = T_{1} /2$ ( $T_{1}$ : période du champ).

{Figure 5 — Cavité de hauteur $H$ selon $(O z)$ }

Q16. Déterminer la valeur numérique de $H$ .
Q17. Par le théorème de la puissance cinétique, exprimer la variation d'énergie cinétique de l'électron à la traversée de la cavité en fonction de $E_{0}$ , $ω_{1}$ , $c$ , $e$ ; application numérique.
Q18. L'accélérateur porte l'énergie cinétique de $1 GeV$ à $10 GeV$ : combien de cavités faut-il ? Estimer la longueur de l'accélérateur.

Corrigé

Q12. Comparons les normes des deux forces (et non la norme d'un « rapport de vecteurs », qui n'a pas de sens). Force électrique : $F_{e} = e E = 1, 60 \times 1 0^{- 19} \times 1 0^{7} = 1, 6 \times 1 0^{- 12} N$ . Poids : $P = m_{e} g = 9, 11 \times 1 0^{- 31} \times 9, 81 = 8, 9 \times 1 0^{- 30} N$ . D'où

$\frac{P}{F _{e}} = \frac{m _{e} g}{e E} \approx 6 \times 1 0^{- 18} ≪ 1.$

Même en remplaçant $m_{e}$ par la « masse » $γ m_{e}$ qui apparaît dans la loi de Newton relativiste, avec $γ \sim 1 0^{4}$ , le rapport reste de l'ordre de $1 0^{- 13}$ : le poids est totalement négligeable.

Q13. Par définition, $\frac{1}{γ ^{2}} = 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = (1 - \frac{v}{c}) (1 + \frac{v}{c})$ . Lorsque $v$ est proche de $c$ , $1 + v / c ≃ 2$ (l'erreur relative commise est $\frac{1}{2} (1 - v / c)$ , elle-même très petite), d'où

$1 - \frac{v}{c} ≃ \frac{1}{2 γ ^{2}} .$

Cette approximation suppose $γ ≫ 1$ .

Q14. Pour $v ≪ c$ , le développement $(1 - u)^{- 1/2} = 1 + \frac{u}{2} + o (u)$ avec $u = v^{2} / c^{2}$ donne $γ ≃ 1 + \frac{v ^{2}}{2 c ^{2}}$ , donc

$E_{c} = (γ - 1) m c^{2} ≃ \frac{v ^{2}}{2 c ^{2}} m c^{2} = \frac{1}{2} m v^{2},$

l'expression classique de l'énergie cinétique.

Q15. L'énergie de masse de l'électron vaut $m_{e} c^{2} = 9, 11 \times 1 0^{- 31} \times (3, 00 \times 1 0^{8})^{2} = 8, 20 \times 1 0^{- 14} J$ , soit $\frac{8 , 20 \times 1 0 ^{- 14}}{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19}} = 5, 12 \times 1 0^{5} eV \approx 0, 512 MeV$ . De $E_{c} = (γ - 1) m_{e} c^{2}$ :

$γ = 1 + \frac{E _{c}}{m _{e} c ^{2}} = 1 + \frac{2 \times 1 0 ^{10}}{5 , 12 \times 1 0 ^{5}} = 3, 9 \times 1 0^{4} \approx 4 \times 1 0^{4},$

puis, d'après Q13 (justifiée puisque $γ ≫ 1$ ),

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