Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie A.VI (Q19 à Q24) : Neuf cavités couplées : chaîne de circuits LC, relation de dispersion, modes propres et synchronisme

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une cellule TESLA regroupe neuf cavités de longueur $H$ le long de son axe $(O z)$ . Pour obtenir la relation de dispersion, chaque cavité est modélisée par un circuit $L C$ et le couplage par l'ouverture entre deux cavités voisines par un condensateur $C_{c}$ ; l'intensité $i_{k}$ est l'analogue du champ électrique dans la cavité $k$ .

{Figure 6 — Analogie électrocinétique de la chaîne de cavités}

Q19. Établir la relation entre $i_{n - 1}$ , $i_{n}$ , $i_{n + 1}$ , leurs dérivées et $L$ , $C$ , $C_{c}$ .
Q20. Montrer que les pulsations $Ω$ et les vecteurs d'onde $k$ vérifient $Ω^{2} = Ω_{a}^{2} (1 - β cos (k H)), Ω_{a}^{2} = \frac{1}{Γ L}, β = \frac{2Γ}{C _{c}}, \frac{1}{Γ} = \frac{1}{C} + \frac{2}{C _{c}} .$

Une simulation numérique de la cellule donne neuf modes propres (tableau 3) ; la figure 7 montre $E_{z}$ sur l'axe pour trois d'entre eux ; on admet un nœud de champ aux deux extrémités de la cellule.

{Figure 7 — Schéma en coupe de la cellule (cavités numérotées de 1 à 9) et composante $E_{z}$ du champ électrique sur l'axe pour trois modes propres (courbes a, b, c de haut en bas)}

mode	1	2	3	4	5
$f$ (GHz)	$1, 2756$	$1, 2776$	$1, 2807$	$1, 2845$	$1, 2885$
mode	6	7	8	9
$f$ (GHz)	$1, 2924$	$1, 2955$	$1, 2976$	$1, 2983$

{Tableau 3 — Fréquences de résonance des neuf modes}

Q21. (Uniquement ici.) Pour une corde de longueur $L$ fixée à ses deux bouts, représenter sans justification les quatre premiers modes propres ; la suite des fréquences $f_{i}$ est-elle croissante ou décroissante ?
Q22. Par analogie, associer aux trois modes de la figure 7 leurs fréquences de résonance ; que vaut $k H$ ( $k$ : vecteur d'onde de l'onde stationnaire) ?

Le document réponse (figure 1) porte $f^{2}$ en fonction de $- cos (k H)$ pour quatre autres modes :

{Document réponse, figure 1 — Relation de dispersion dans une cellule TESLA}

Q23. Placer les trois points des modes de Q22. La relation de Q20 est-elle validée ? Si oui, que vaut $β$ ?

On excite le mode 9 ( $f_{9} = 1, 2983 GHz$ , période $T_{0}$ ), de dépendance temporelle $sin (2 π f_{9} t)$ . Un électron (point noir) traverse deux cavités par période ; le document réponse montre quatre cavités aux instants $0$ , $T_{0} /4$ , $T_{0} /2$ , $3 T_{0} /4$ , avec sous chacune un axe $E_{z} (z)$ à compléter (aux instants $0$ et $T_{0} /2$ , le sujet indique que le champ est nul).

{Document réponse, figure 2 — Cavités à différents instants}

Q24. Tracer $E_{z} (z)$ sous chaque schéma et représenter la force électrique subie par l'électron.

Corrigé

Q19. Conventions (celles de la figure 6) : $i_{n}$ circule vers la droite dans la cavité $n$ ; $u_{n}$ , tension aux bornes du condensateur $C$ de la cavité $n$ , est fléchée en convention récepteur, donc $i_{n} = C \frac{d u _{n}}{d t}$ ; $u_{C, n}$ est la tension du condensateur de couplage placé entre les cavités $n$ et $n + 1$ , fléchée vers le haut (potentiel du fil supérieur moins potentiel du fil inférieur).

Loi des nœuds au nœud supérieur situé entre les cavités $n$ et $n + 1$ : le courant $i_{n}$ arrive, $i_{n + 1}$ repart, la différence descend dans $C_{c}$ (convention récepteur pour $u_{C, n}$ ) :

$C_{c} \frac{d u _{C, n}}{d t} = i_{n} - i_{n + 1} .$

Loi des mailles sur la maille formée par $C_{c}$ (entre $n - 1$ et $n$ ), la bobine et le condensateur de la cavité $n$ , puis $C_{c}$ (entre $n$ et $n + 1$ ) et le fil inférieur :

$u_{C, n - 1} = L \frac{d i _{n}}{d t} + u_{n} + u_{C, n} .$

On dérive par rapport au temps et on remplace chaque dérivée de tension par une intensité :

$\frac{i _{n - 1} - i _{n}}{C _{c}} = L \frac{d ^{2} i _{n}}{d t ^{2}} + \frac{i _{n}}{C} + \frac{i _{n} - i _{n + 1}}{C _{c}},$

soit

$L \frac{d ^{2} i _{n}}{d t ^{2}} + (\frac{1}{C} + \frac{2}{C _{c}}) i_{n} = \frac{i _{n - 1} + i _{n + 1}}{C _{c}} .$

Sans couplage ( $C_{c} \to \infty$ , condensateur de couplage court-circuitant), on retrouve l'oscillateur $L C$ isolé ; le couplage ajoute un terme de rappel et une excitation par les deux voisines.

Q20. Avec $\frac{1}{Γ} = \frac{1}{C} + \frac{2}{C _{c}}$ , la relation de Q19 s'écrit $L i ¨_{n} + \frac{i _{n}}{Γ} = \frac{i _{n - 1} + i _{n + 1}}{C _{c}}$ . La chaîne est linéaire et invariante par translation d'une cavité (on la suppose infinie, ou on raisonne loin des bords) : on cherche une solution en onde harmonique, la cavité $n$ étant à l'abscisse $z_{n} = n H$ . En notation complexe,

$i_{n} = I_{0} e^{i (Ω t - k n H)} .$

Alors $i ¨_{n} = - Ω^{2} i_{n}$ et $i_{n - 1} + i_{n + 1} = i_{n} (e^{i k H} + e^{- i k H}) = 2 cos (k H) i_{n}$ . En simplifiant par $i_{n} \neq = 0$ :

$\frac{1}{Γ} - L Ω^{2} = \frac{2 cos ( k H )}{C _{c}} ⟹ Ω^{2} = \frac{1}{Γ L} (1 - \frac{2Γ}{C _{c}} cos (k H)),$

c'est-à-dire

$Ω^{2} = Ω_{a}^{2} (1 - β cos (k H)), Ω_{a}^{2} = \frac{1}{Γ L}, β = \frac{2Γ}{C _{c}} .$

Comme $Γ < C_{c} /2$ , on a $0 < β < 1$ et $Ω^{2} > 0$ pour tout $k$ . La relation est dispersive et $Ω$ ne varie que dans une bande étroite, de $Ω_{a} 1 - β$ (pour $k H = 0$ , cavités en phase) à $Ω_{a} 1 + β$ (pour $k H = π$ , cavités voisines en opposition) : c'est une « bande passante » d'autant plus étroite que le couplage est faible.

Q21. Pour une corde fixée en $x = 0$ et $x = L$ , le mode $i$ est une onde stationnaire $y = A sin (iπ x / L) cos (2 π f_{i} t)$ : il présente $i$ fuseaux et $i - 1$ nœuds intérieurs. Allure (enveloppes à deux instants opposés) :

Les fréquences propres sont $f_{i} = i \frac{c _{0}}{2 L}$ ( $c_{0}$ : célérité des ondes sur la corde) : la suite $(f_{i})$ est croissante, chaque mode ayant un fuseau (un nœud) de plus que le précédent.

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