Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie B.I (Q25 à Q30) : Trajectoire d'un électron relativiste dans l'ondulateur : paramètre K, vitesse moyenne, champ magnétique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Accélérés, les électrons entrent dans l'ondulateur : deux rangées d'électro-aimants d'aimantations alternées créent un champ magnétique périodique dans l'espace, qui fait onduler leur trajectoire ; accélérés, ils rayonnent des rayons X (figure 8, schématisée).

{Figure 8 — Principe de l'ondulateur (vue schématique)}

Modèle : $B = B_{0} cos (k_{u} z) e_{y}$ , $k_{u} = 2 π / λ_{u}$ ( $λ_{u}$ : période spatiale). L'électron (charge $- e$ , masse $m$ ) entre en $O$ à $t = 0$ avec $v_{0} = v_{0} e_{z}$ , et $γ ≫ 1$ . On utilise le formulaire relativiste : $E_{c} = (γ - 1) m c^{2}$ , $\frac{d ( γ m v )}{d t} = F_{m}$ , $\frac{d E _{c}}{d t} = F_{m} \cdot v$ .

Q25. Montrer que $E_{c}$ reste constante dans l'ondulateur ; en déduire que $γ$ et la norme de la vitesse restent constants.
Q26. Établir le système d'équations du mouvement (poids négligé).

La vitesse selon $z$ oscille autour d'une valeur moyenne : $z ˙ = v_{m} + δ v_{z}$ , avec $δ v_{z}$ périodique et petit devant $v_{m}$ ; on écrit d'abord $z (t) = v_{m} t$ , $z ˙ = v_{m}$ , mais $z ¨ = \frac{d ( δ v _{z} )}{d t} \neq = 0$ .

Q27. Montrer que $x (t) = \frac{K}{γ k _{u}} (1 - cos (v_{m} k_{u} t))$ et exprimer $K$ .
Q28. Pour $K / γ ≪ 1$ , par un développement à l'ordre 1 en $K^{2} / γ^{2}$ , montrer que $z ˙ (t) = v_{0} (1 - \frac{K ^{2}}{4 γ ^{2}}) + \frac{K ^{2} v _{0}}{4 γ ^{2}} cos (2 v_{m} k_{u} t)$ .
Q29. Exprimer $v_{m}$ en fonction de $c$ , $K$ , $γ$ seulement, à l'aide de Q13 ( $1 - v / c = 1/ (2 γ^{2})$ ).
Q30. Pour l'ondulateur SASE1 du XFEL européen, $K = 2$ et $λ_{u} = 4, 0 cm$ . En déduire $B_{0}$ (on prendra $v_{m} = c$ ) et commenter.

Corrigé

Q25. Système : l'électron, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen ; il n'est soumis qu'à la force magnétique $F_{m} = - e v \land B$ (poids négligeable, comme en Q12). Cette force est perpendiculaire à $v$ , donc sa puissance est nulle. Le théorème de la puissance cinétique (forme relativiste du formulaire) donne

$\frac{d E _{c}}{d t} = F_{m} \cdot v = - e (v \land B) \cdot v = 0 :$

l'énergie cinétique est constante. Comme $E_{c} = (γ - 1) m c^{2}$ avec $m$ et $c$ constants, $γ$ est constant ; et $γ = (1 - v^{2} / c^{2})^{- 1/2}$ étant une fonction strictement croissante de $v$ , la norme $v$ de la vitesse est constante, égale à $v_{0}$ . Le champ magnétique dévie l'électron sans l'accélérer au sens de l'énergie.

Q26. Puisque $γ$ est constant (Q25), la deuxième loi de Newton relativiste s'écrit $γ m \frac{d v}{d t} = - e v \land B$ . Avec $v = (x ˙, y ˙, z ˙)$ et $B = B_{0} cos (k_{u} z) e_{y}$ :

$v \land e_{y} = x ˙ y ˙ z ˙ \land 010 = - z ˙ 0 x ˙,$

d'où le système

$γ m x ¨ = e B_{0} cos (k_{u} z) z ˙, γ m y ¨ = 0, γ m z ¨ = - e B_{0} cos (k_{u} z) x ˙ .$

Avec $y (0) = 0$ et $y ˙ (0) = 0$ , on a $y (t) = 0$ : le mouvement a lieu dans le plan $(O x z)$ , perpendiculaire au champ.

Q27. La première équation s'écrit, $z$ étant une fonction du temps,

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →