Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie B.II (Q31 à Q35) : Rayonnement de l'ondulateur : interférence de N ondes, condition d'accord, longueur d'onde X et largeur spectrale

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'électron accéléré dans l'ondulateur rayonne ; les ondes émises au fil de la trajectoire interfèrent. À $t_{1}$ , en $z_{1}$ , il émet une onde ; à $t_{2}$ , après une période de sa trajectoire, il est en $z_{2} = z_{1} + λ_{u}$ et émet une nouvelle onde, qui doit interférer constructivement avec la première (figure 9).

{Figure 9 — Émission à $t_{1}$ (à gauche) et à $t_{2}$ (à droite : onde émise à $t_{1}$ en trait fin, onde émise à $t_{2}$ en trait épais gris)}

Modèle : $N$ sources sur l'axe $(O z)$ ; la source $p$ ( $0 \leq p \leq N - 1$ ), en $z_{p} = p λ_{u}$ , émet vers les $z$ croissants

$s_{p} (z, t) = S_{0} cos (α (t - p \frac{λ _{u}}{v _{m}}) - k (z - p λ_{u})),$

de pulsation $α$ , de vecteur d'onde $k$ , $v_{m}$ étant la vitesse moyenne trouvée en Q29.

{Figure 10 — Les $N$ sources, espacées de $λ_{u}$ }

Q31. Justifier l'expression de $s_{p}$ .

Un détecteur en $M$ sur l'axe, $z > N λ_{u}$ , reçoit $s_{t o t, N} (t) = \sum_{p = 0}^{N - 1} s_{p} (z, t)$ .

Q32. Montrer que l'amplitude de $s_{t o t, N}$ est $S_{0, N} = S_{0} \frac{sin ( \frac{N}{2} ( \frac{1}{v _{m}} - \frac{1}{c} ) α λ _{u} )}{sin ( \frac{1}{2} ( \frac{1}{v _{m}} - \frac{1}{c} ) α λ _{u} )} .$

Q33. Montrer que cette amplitude est maximale pour les fréquences $F_{q} = \frac{c}{λ _{u}} \frac{2 γ ^{2}}{1 + K ^{2} /2} q, q entier non nul .$

Q34. SASE1 : $K = 2$ , $λ_{u} = 4, 0 cm$ , électrons de $17, 5 GeV$ ( $γ = 3, 4 \times 1 0^{4}$ ). En déduire la longueur d'onde associée à $F_{1}$ .

{Figure 11 — $S_{0, N}$ en fonction de $F$ pour $N = 6$ }

On admet que la largeur à mi-hauteur des pics principaux vaut $Δ F = F_{1} / N$ .

Q35. Pour SASE1, $Δ F / F_{1} = 1, 5 \times 1 0^{- 3}$ . En déduire $N$ ; commenter, sachant que l'ondulateur mesure $175 m$ .

Corrigé

Q31. L'onde émise est assimilée, sur l'axe et loin de l'émetteur, à une onde plane progressive harmonique qui se propage dans le vide vers les $z$ croissants, à la célérité $c$ : sa phase en $(z, t)$ est celle de l'émission, retardée du temps de propagation. Il faut donc dater et situer l'émission de la source $p$ :

l'électron, qui part de $O$ à $t = 0$ et avance à la vitesse moyenne $v_{m}$ selon $z$ , passe en $z_{p} = p λ_{u}$ à l'instant $t_{p} = p λ_{u} / v_{m}$ ; c'est là et à cet instant qu'il émet l'onde $p$ ;
toutes les émissions sont identiques (même électron, même point de sa trajectoire périodique, une période plus tard) : même amplitude $S_{0}$ , même phase à l'origine, prise nulle.

L'onde $p$ s'écrit donc $s_{p} = S_{0} cos (α (t - t_{p} - \frac{z - z _{p}}{c}))$ , soit, avec la relation de dispersion du vide $k = α / c$ ,

$s_{p} (z, t) = S_{0} cos (α (t - p \frac{λ _{u}}{v _{m}}) - k (z - p λ_{u})),$

expression valable pour $z \geq z_{p}$ (l'onde se propage vers l'avant) et $t \geq t_{p} + (z - z_{p}) / c$ .

Q32. En développant la phase, $s_{p} = S_{0} cos (α t - k z - p δ)$ avec le déphasage entre deux sources successives

$δ = \frac{α λ _{u}}{v _{m}} - k λ_{u} = α λ_{u} (\frac{1}{v _{m}} - \frac{1}{c}) .$

Les $N$ ondes ont la même amplitude et des phases en progression arithmétique : on les somme en notation complexe, $s_{p} = Re (S_{0} e^{i (α t - k z)} e^{- i p δ})$ , et la somme géométrique vaut

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