Corrigé Centrale 2025 Physique 2 PC — Partie B.III (Q36 à Q38) : Action de l'onde sur les électrons : méthode d'Euler, micro-groupement et émission cohérente

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Chaque électron émet un train d'impulsions à la fréquence $F_{1} = \frac{c}{λ _{u}} \frac{2 γ ^{2}}{1 + K ^{2} /2}$ (relation (1)) ; mais le faisceau d'électrons est continu et les trains des différents électrons ne sont pas en phase : un observateur reçoit les rayons X en continu, pas en impulsions. Pour tenir compte de l'action de l'onde émise sur les électrons, on admet qu'il faut résoudre le système couplé

$\frac{d φ}{d t} = 2 k_{u} c η, \frac{d η}{d t} = - \frac{C ^{2}}{2 k _{u} c} sin φ (2)$

( $C$ : constante de l'ondulateur), avec $φ (0) = φ_{0}$ et $η (0) = η_{0}$ , par la méthode d'Euler explicite entre $t = 0$ et $t = t_{f}$ , avec un pas $δ t$ (le sujet écrit « $N = δ t / t_{f}$ points de calcul »).

Q36. Établir les relations de récurrence donnant les suites $(φ_{i})$ et $(η_{i})$ .

Une simulation donne la répartition des électrons à l'entrée (1), au milieu (2) et à la sortie (3) de l'ondulateur (figures 12 et 13 ; $λ_{1} = c / F_{1}$ , électrons allant vers les $z$ croissants).

{Figure 12 — Positions 1 (entrée), 2 (milieu) et 3 (sortie) dans l'ondulateur}

{Figure 13 — Répartition des électrons (chaque point est un électron) en 1, 2 et 3 (allure redessinée)}

Q37. Décrire l'évolution de la distribution des électrons lors de la traversée de l'ondulateur.
Q38. Expliquer pourquoi ce changement de répartition résout le problème posé au début de cette partie.

Corrigé

Q36. On discrétise le temps : $t_{i} = i δ t$ , pour $i$ de $0$ à $N = t_{f} / δ t$ (et non $δ t / t_{f}$ , coquille de l'énoncé : le nombre de pas est la durée divisée par le pas). La méthode d'Euler explicite remplace chaque dérivée, à l'instant $t_{i}$ , par le taux d'accroissement sur un pas, les seconds membres étant évalués avec les valeurs connues à $t_{i}$ :

$\frac{φ _{i + 1} - φ _{i}}{δ t} = 2 k_{u} c η_{i}, \frac{η _{i + 1} - η _{i}}{δ t} = - \frac{C ^{2}}{2 k _{u} c} sin φ_{i} .$

D'où les relations de récurrence, initialisées par $φ_{0}$ et $η_{0}$ :

$φ_{i + 1} = φ_{i} + 2 k_{u} c η_{i} δ t, η_{i + 1} = η_{i} - \frac{C ^{2}}{2 k _{u} c} sin (φ_{i}) δ t .$

Une mise en œuvre en Python :


import math

def euler(phi0, eta0, ku, c, C, tf, dt):
    """Euler explicite : dphi/dt = 2 ku c eta ; deta/dt = -C**2/(2 ku c) sin(phi)."""
    N = int(tf / dt)                      # nombre de pas de calcul
    phi, eta = [phi0], [eta0]
    for i in range(N):
        phi.append(phi[i] + dt * 2 * ku * c * eta[i])
        eta.append(eta[i] - dt * C**2 / (2 * ku * c) * math.sin(phi[i]))
    return phi, eta

Les deux mises à jour utilisent toutes deux $φ_{i}$ et $η_{i}$ (c'est ce qui rend le schéma explicite). Exécuté en unités réduites ( $k_{u} c = 1$ , $C = 1$ , $φ_{0} = 0, 5$ , $η_{0} = 0$ , $t_{f} = 20$ , $δ t = 1 0^{- 4}$ , soit $2 \times 1 0^{5}$ pas), ce code conserve la quantité $k_{u} c η^{2} - \frac{C ^{2}}{2 k _{u} c} cos φ$ (invariant exact du système (2), que l'on vérifie en la dérivant) à $3 \times 1 0^{- 4}$ près en valeur relative : le pas est assez petit. Remarque physique : en dérivant la première équation, $φ ¨ = 2 k_{u} c η ˙ = - C^{2} sin φ$ : c'est l'équation du pendule simple de pulsation $C$ ; la phase $φ$ de chaque électron oscille autour des positions stables $φ \equiv 0 [2 π]$ .

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