Corrigé Centrale 2025 S2I MP — Partie D (Q4 à Q8) : Modèle dynamique non linéaire couplé du bras articulé

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve S2I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Bras plan des Parties B et C (segments $2$ , $3$ , $6$ , pivots d'axes $(B, z_{1})$ , $(C, z_{1})$ , $(E, z_{1})$ , angles $θ_{B}$ , $θ_{C}$ , $θ_{E}$ ). Données cinétiques : $G_{i}$ centre d'inertie du segment $i$ , $B G_{2} = ℓ_{G 2} x_{2}$ , $C G_{3} = ℓ_{G 3} x_{3}$ , $E G_{6} = ℓ_{G 6} x_{6}$ ; masses $m_{2}$ , $m_{3}$ , $m_{6}$ ; moments d'inertie $I_{2}$ , $I_{3}$ , $I_{6}$ par rapport aux axes $(G_{i}, z_{1})$ . Couples des motoréducteurs : $C_{B} z_{1}$ ( $1 \to 2$ ), $C_{C} z_{1}$ ( $2 \to 3$ ), $C_{E} z_{1}$ ( $3 \to 6$ ) ; pesanteur $g = - g y_{1}$ . Liaisons sans frottement, action du laser négligée, repère du socle $1$ galiléen.

{ Figure 8 (rappel) et Figure 9b — Bras paramétré ; schéma de simulation du modèle non linéaire.}

Q4. Équilibre en $q_{0} = (θ_{B 0}, θ_{C 0}, θ_{E 0})$ : isoler $6$ , faire l'inventaire des actions extérieures, appliquer le théorème du moment statique sur $(E, z_{1})$ ; écrire $C_{E 0} = A cos (θ_{i 0})$ .
Q5. Exprimer $C_{E} (t)$ sous la forme $C_{E} = M_{13} θ ¨_{B} + M_{23} θ ¨_{C} + M_{33} θ ¨_{E} + C_{31} θ ˙_{B} + C_{32} θ ˙_{C} + Q_{3}$ (isolement, inventaire, théorème, point et direction de projection). Formulaire :

$δ (G_{6}, 6/1) \cdot z_{1} = I_{6} (θ ¨_{B} + θ ¨_{C} + θ ¨_{E}),$

$a (G_{6}, 6/1) = a_{x} x_{6} + a_{y} y_{6} avec$

$a_{x} = a_{y} = ℓ_{2} θ ¨_{B} sin (θ_{C} + θ_{E}) + ℓ_{3} (θ ¨_{B} + θ ¨_{C}) sin θ_{E} - ℓ_{2} θ ˙_{B}^{2} cos (θ_{C} + θ_{E}) - ℓ_{G 6} (θ ˙_{B} + θ ˙_{C} + θ ˙_{E})^{2} - ℓ_{3} (θ ˙_{B} + θ ˙_{C})^{2} cos θ_{E}, ℓ_{2} θ ¨_{B} cos (θ_{C} + θ_{E}) + ℓ_{3} (θ ¨_{B} + θ ¨_{C}) cos θ_{E} + ℓ_{G 6} (θ ¨_{B} + θ ¨_{C} + θ ¨_{E}) + ℓ_{2} θ ˙_{B}^{2} sin (θ_{C} + θ_{E}) + ℓ_{3} (θ ˙_{B} + θ ˙_{C})^{2} sin θ_{E} .$

Q6. Exposer la démarche (système isolé, inventaire, théorème, point, projection) donnant $C_{C} (t)$ , sans calcul.
Q7. Même question pour $C_{B} (t)$ .
Q8. Les trois équations s'écrivent $Γ = M (q) q ¨ + C (q, q ˙) q ˙ + Q (q)$ , $M$ symétrique ( $3 \times 3$ ). Exprimer la fonction $F (Γ, q, q ˙)$ de la Figure 9b.

Corrigé

Q4. Isolement : le segment $6$ , à l'équilibre, dans le repère galiléen du socle. Inventaire des actions mécaniques extérieures à $6$ :

la pesanteur, ${- m_{6} g y_{1} 0}_{G_{6}}$ ;
la liaison pivot parfaite $3 \to 6$ d'axe $(E, z_{1})$ , ${X_{36} x_{1} + Y_{36} y_{1} + Z_{36} z_{1} L_{36} x_{1} + M_{36} y_{1}}_{E}$ , dont le moment en $E$ sur $z_{1}$ est nul ;
le couple du motoréducteur, ${0 C_{E 0} z_{1}}$ (torseur couple).

Théorème du moment statique en $E$ , en projection sur $z_{1}$ (il élimine les cinq inconnues de la pivot) :

$0 + C_{E 0} + (E G_{6} \land (- m_{6} g y_{1})) \cdot z_{1} = 0.$

Avec $x_{6} = cos θ_{6} x_{1} + sin θ_{6} y_{1}$ , on a $x_{6} \land y_{1} = cos θ_{6} z_{1}$ , donc $(ℓ_{G 6} x_{6} \land (- m_{6} g y_{1})) \cdot z_{1} = - m_{6} g ℓ_{G 6} cos θ_{60}$ , et

$C_{E 0} = m_{6} g ℓ_{G 6} cos (θ_{B 0} + θ_{C 0} + θ_{E 0})$

soit $A = m_{6} g ℓ_{G 6}$ et $θ_{i 0} = θ_{60} = θ_{B 0} + θ_{C 0} + θ_{E 0}$ . Homogénéité : $kg \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot m = N \cdot m$ . Pour la position de travail ( $θ_{60} = - 9 0^{\circ}$ ), la tête est verticale, son poids passe par $E$ et $C_{E 0} = 0$ .

Ce que le correcteur attend : la liaison pivot figure dans l'inventaire, même si son moment sur l'axe est nul : c'est précisément cette nullité qui justifie le choix du point $E$ et de la direction $z_{1}$ .

Q5. Isolement : le segment $6$ , en mouvement par rapport au repère galiléen $1$ . Inventaire : les mêmes actions qu'en Q4 (pesanteur en $G_{6}$ , pivot parfaite $3 \to 6$ de moment nul sur $z_{1}$ en $E$ , couple $C_{E} (t) z_{1}$ ). Théorème : théorème du moment dynamique au point $E$ , projeté sur $z_{1}$ :

$δ (E, 6/1) \cdot z_{1} = C_{E} - m_{6} g ℓ_{G 6} cos (θ_{B} + θ_{C} + θ_{E}) .$

Moment dynamique, par transport depuis $G_{6}$ : $δ (E, 6/1) = δ (G_{6}, 6/1) + E G_{6} \land m_{6} a (G_{6}, 6/1)$ . Dans la base $(x_{6}, y_{6}, z_{1})$ , $x_{6} \land (a_{x} x_{6} + a_{y} y_{6}) = a_{y} z_{1}$ , donc seule la composante $a_{y}$ du formulaire intervient :

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