Corrigé Centrale 2025 S2I MP — Partie I (Q17 à Q20) : Validation du modèle de synthèse et commande par anticipation

La commande de l'articulation $B$ (Figure 12 : correcteur de position $\frac{K_p}{{\tau }_{i}p}$ et retour $K_P$, boucle tachymétrique $K_{1}p$, blocs $\frac{1}{K_{CB}}$ et $K_{CB}$) a été réglée sur le modèle simplifié découplé. On la compare à la même commande appliquée au modèle linéaire couplé : $H(p)$ étant supposée inversible, on note (l'indice « lin.couplé » abrégé en « lc »)

$$H^{-1}(p)=\left(\begin{array}{ccc}{H}_{B,\mathrm{lc}}& H_{BC,\mathrm{lc}}& H_{BE,\mathrm{lc}}\\ H_{CB,\mathrm{lc}}& H_{C,\mathrm{lc}}& H_{CE,\mathrm{lc}}\\ H_{EB,\mathrm{lc}}& H_{EC,\mathrm{lc}}& H_{E,\mathrm{lc}}\end{array}\right).$$

Le document réponse donne, de bas en haut, la chaîne $\delta {\theta }_{Bc}\to$ comparateur $\to \frac{K_p}{{\tau }_{i}p}\to$ comparateur (retour $K_P$) $\to {\Omega }_{Bc}$, puis, séparément, trois blocs vides d'entrées $\delta C_B$, $\delta C_C$, $\delta C_E$ et deux sommateurs donnant $\delta {\theta }_B$, rebouclé sur les deux comparateurs.

Q17. Compléter ce schéma-blocs de la commande de $B$ appliquée au modèle linéaire couplé.

Les deux modèles (simplifié découplé, Figure 13, et couplé avec $\delta C_C=\delta C_E=0$) reçoivent la même rampe de consigne, de pente $a_r$ (phase à vitesse constante du trapèze) :

{ Figure 17 — Réponses de l'articulation $B$ à une rampe de position angulaire.}

Q18. Conclure sur l'écart entre les deux modèles ; relever l'erreur de traînage $\Delta {\theta }_B$ et la comparer à la valeur maximale de Q3.

On ajoute une anticipation (Figure 18) ; idéalement $\delta {\theta }_B^{\ast }(p)=\delta {\theta }_{Bc}(p)$ et $\epsilon =0$, l'anticipation idéale étant notée $C{a}_B^{\ast }(p)$ (Figure 19 : même schéma, branche du correcteur de position à zéro).

{ Figure 18 — Commande par anticipation (Figure 19 : bloc $C{a}_B^{\ast }(p)$, $\epsilon =0$, sortie $\delta {\theta }_B^{\ast }$).}

Q19. Déterminer $C{a}_B^{\ast }(p)$ en fonction de $K_P$ et $H_{TB}(p)$, puis de $K_P$, $K_B$, ${\omega }_{BBF}$ ; justifier qu'elle n'est pas physiquement réalisable.

On réalise $C{a}_B(p)=C{a}_B^{\ast }(p)\frac{1}{K_B\left(1+\frac{p}{10{\omega }_0}\right)}$, et l'énoncé donne alors

$$\epsilon (p)=\frac{4,2+p}{(90,2+4,2p+p^2)(300+p)}{p}^2\delta {\theta }_{Bc}(p).$$

Q20. Le système étant supposé stable, montrer qu'en régime permanent, pour une rampe de pente $a_r$, la valeur maximale de $\Delta {\theta }_B$ de Q3 est respectée.