Corrigé Centrale 2025 S2I MP — Parties B et C (Q1 à Q3) : Architecture de la commande et modèle géométrique direct

Une tête d'impression 3D métallique (procédé DED : poudre fondue par laser au point de fusion $P$) est portée par un bras robotisé six axes. Pour un cordon de référence rectiligne horizontal de $100\mathrm{mm}$, seules les articulations $B$, $C$, $E$ servent : chaîne ouverte socle $1$, segments $2$, $3$, $6$, mouvement plan, loi de vitesse en trapèze. Extrait du cahier des charges (Figure 6) :

Notations : consignes articulaires $q_c=({\theta }_{Bc},{\theta }_{Cc},{\theta }_{Ec})$, coordonnées articulaires $q=({\theta }_B,{\theta }_C,{\theta }_E)$, consignes de courant $i_c=(i_{Bc},i_{Cc},i_{Ec})$, couples des motoréducteurs $\Gamma =(C_B,C_C,C_E)$.

{ Figure 7 — Architecture du système de déplacement de la tête.}

Commande monovariable : chaque motoréducteur est commandé en courant, et sa consigne de courant n'utilise que la consigne, la position et la vitesse articulaires du segment qu'il entraîne. Chaînes de mesure parfaites.

Q1. Compléter le diagramme ibd « Commande monovariable » du document réponse (trois blocs de commande B, C, E ; ports et labels de flux).

{ Figure 8 — Schéma cinématique plan du bras et figure de changement de bases.}

Paramétrage : $\overrightarrow{BP}=x\overrightarrow{x_1}+y\overrightarrow{y_1}$, ${\theta }_6=(\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_6})$ ; $\overrightarrow{BC}={\ell }_2\overrightarrow{x_2}$, $\overrightarrow{CE}={\ell }_3\overrightarrow{x_3}$, $\overrightarrow{EP}={\ell }_6\overrightarrow{x_6}$ avec ${\ell }_2=825\mathrm{mm}$, ${\ell }_3=625\mathrm{mm}$, ${\ell }_6=300\mathrm{mm}$ ; ${\theta }_B=(\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2})$, ${\theta }_C=(\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3})$, ${\theta }_E=(\overrightarrow{x_3},\overrightarrow{x_6})$.

Q2. Établir le modèle direct $(x,y,{\theta }_6)$ en fonction de $({\theta }_B,{\theta }_C,{\theta }_E)$.
Q3. Des erreurs angulaires petites et égales, $\Delta {\theta }_B=\Delta {\theta }_C=\Delta {\theta }_E$, écartent le bras de $({\theta }_{B0},{\theta }_{C0},{\theta }_{E0})$. Exprimer l'erreur verticale linéarisée $\Delta y$, puis la valeur maximale de $\Delta {\theta }_B$ pour ${\theta }_{B0}=50^{\circ }$, ${\theta }_{C0}=-100^{\circ }$, ${\theta }_{E0}=-40^{\circ }$.