Corrigé Centrale 2025 S2I MP — Parties E et F (Q9 à Q13) : Linéarisation, modèle découplé et validation fréquentielle

On linéarise $\Gamma =M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+Q(q)$ (Partie D) autour d'une position d'équilibre $q_0$ (${\dot{q}}_0=0$, ${\ddot{q}}_0=0$) : $\Gamma ={\Gamma }_0+\delta \Gamma$, $q=q_0+\delta q$, avec $\delta \Gamma =(\delta C_B,\delta C_C,\delta C_E)$ et $\delta q=(\delta {\theta }_B,\delta {\theta }_C,\delta {\theta }_E)$. Développements à l'ordre $1$ : $M(q_0+\delta q)\approx M(q_0)+\frac{\partial M}{\partial q}(q_0)\delta q$, $Q(q_0+\delta q)\approx Q(q_0)+\frac{\partial Q}{\partial q}(q_0)\delta q$, $C(q_0+\delta q,{\dot{q}}_0+\delta \dot{q})\approx C(q_0,{\dot{q}}_0)+\frac{\partial C}{\partial q}\delta q+\frac{\partial C}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}$, et $C(q_0,{\dot{q}}_0)=0$.

Q9. Linéariser pour obtenir $\delta \Gamma =A(q_0)\delta \ddot{q}+B(q_0)\delta q$ ; exprimer $A(q_0)$ et $B(q_0)$.

Notations : $A_0=A(q_0)=(A_{ij})$, symétrique ; $B_0=B(q_0)=(B_{ij})$.

Q10. Exprimer $\delta C_B(t)$ en fonction des $A_{ij}$, $B_{ij}$, $\delta {\theta }_k$ et $\delta {\ddot{\theta }}_k$.

{ Figure 10 — Modèle linéaire couplé du bras (domaine de Laplace).}

Q11. À partir de Q10 et de la Figure 10, exprimer $D_B(p)$ en fonction des $A_{ij}$, $B_{ij}$, $\delta {\theta }_C(p)$ et $\delta {\theta }_E(p)$.

{ Figure 11 — Modèle découplé de l'articulation $B$, $D_B$ traité en perturbation.}

Pour $q_0=(50^{\circ },-100^{\circ },-40^{\circ })$, position médiane du cordon : $H_B(p)=\frac{-K_B}{1-\frac{p^2}{{\omega }_B^2}}$, $K_B=0,00716\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{N}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$, ${\omega }_B=1,78\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Par ailleurs $\delta \Gamma (p)=H(p)\delta q(p)$, $H(p)$ matrice de polynômes en $p$.

Q12. Avec $\delta C_C=\delta C_E=0$, et l'hypothèse nécessaire, montrer que $\delta {\theta }_B(p)=H_{B\text{lin.coupleˊ}}(p)\delta C_B(p)$ (sans la calculer).

Réglage visé : ${\tau }_r=0,1\mathrm{s}$, $\zeta =0,7$, pulsation propre telle que ${\tau }_r{\omega }_0=3$ ; les deux modèles doivent être voisins sur la bande $[10\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1};100\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}]$.

Q13. Tracer le Bode asymptotique de $H_B(\mathrm{i}\omega )$ sur le document réponse (où figure celui de $H_{B\text{lin.coupleˊ}}$) et conclure.

{ Document réponse Q13 — Bode de $H_{B\text{lin.coupleˊ}}(\mathrm{i}\omega )$.}