Corrigé Centrale 2025 S2I MP — Parties G et H (Q14 à Q16) : Synthèse de la commande de l'articulation B et validation du principe

Structure de commande de l'articulation $B$ (Figure 12) : correcteur de position (intégral sur l'écart, proportionnel sur la mesure), boucle tachymétrique interne de gain $K_1$, moteur commandé en courant, modèle découplé $H_B(p)=\frac{-K_B}{1-p^2/{\omega }_B^2}$ de la Partie F ($K_B=0,00716\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{N}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$, ${\omega }_B=1,78\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$), perturbation $D_B(p)$.

{ Figure 12 — Commande angulaire de l'articulation $B$.}

La boucle tachymétrique ($D_B=0$) donne $H_{TB}(p)=\frac{\delta {\theta }_B}{{\Omega }_{Bc}}=\frac{-K_B}{(1+\frac{p}{{\omega }_{BHF}})(1-\frac{p}{{\omega }_{BBF}})}$ (équation 1) ; on veut ${\omega }_0=30\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ (${\tau }_r=0,1\mathrm{s}$) et ${\omega }_{BHF}=10{\omega }_0$.

Q14. Déterminer $H_{TB}(p)$ en fonction de $K_B$, ${\omega }_B$, $K_1$ ; en déduire ${\omega }_{BBF}$ et $K_1$ (applications numériques).

On garde ensuite le seul pôle instable : $H_{TB}(p)=\frac{-K_B}{1-p/{\omega }_{BBF}}$.

{ Figure 13 — Commande angulaire de $B$ en l'absence de $D_B$.}

Critère : facteur d'amortissement $\zeta =0,7$, pulsation propre ${\omega }_0=30\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, forme canonique $\frac{K}{1+\frac{2\zeta }{{\omega }_0}p+\frac{p^2}{{\omega }_0^2}}$.

Q15. Déterminer $\delta {\theta }_B/\delta {\theta }_{Bc}$ ; exprimer $K_P$ et ${\tau }_i$ en fonction de $\zeta$, ${\omega }_0$, $K_B$, ${\omega }_{BBF}$ (applications numériques).

Partie H.

La commande, réglée de même pour les trois articulations, pilote le modèle non linéaire couplé de la Partie D (Figure 15). Critères concepteur (Figure 14) ; un seul critère non respecté rend la commande non viable.

{

Performance	Critère	Niveau (aucune flexibilité)
Stabilité	valeur angulaire	constante au bout d'un temps fini, consigne en échelon
Précision	erreur, consigne en échelon	nulle en régime permanent
	erreur, perturbation en échelon	nulle en régime permanent

}

{ Figures 14 et 15 — Critères concepteur ; commande appliquée au modèle non linéaire couplé.}

Depuis l'équilibre $q_0$, on applique successivement un échelon ${\theta }_0=0,1\mathrm{rad}$ sur la seule consigne de $B$ ($q_{c1}$), de $C$ ($q_{c2}$), puis de $E$ ($q_{c3}$) ; la Figure 16 donne les variations $\delta {\theta }_B$ (trait plein), $\delta {\theta }_C$ (tirets), $\delta {\theta }_E$ (tirets-points).

{ Figure 16 — Réponses angulaires aux trois consignes en échelon.}

Q16. Conclure, à l'aide de la Figure 16, sur la viabilité d'une commande monovariable du bras.