Corrigé Centrale 2026 Chimie PC — Parties B.I et B.II (Q17 à Q28) : Diffusion et osmose ; décomposition du carbonate de calcium, chaulage

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Extraction, purification, concentration et cristallisation du sucre, sans transformation chimique :

{Figure 6 — Procédé d'extraction du sucre de betterave (simplifié)}

Diffusion. Cossettes dans l'eau à $\approx 343 K$ (membranes dénaturées) ; liquide intracellulaire à $16%$ en masse de saccharose.
Q17. Justifier thermodynamiquement la diffusion spontanée du saccharose vers l'extérieur.

Intervient aussi l'osmose. Notations : $μ^{\circ} (H X_{2} O (l))$ , $V^{*} (H X_{2} O (l))$ volume molaire, $x (H X_{2} O (l))$ fraction molaire de l'eau.
Q18. Décrire l'osmose ; définir la pression osmotique.
Q19. Établir la loi de Van 't Hoff $Π = C R T$ ( $C$ : concentration en saccharose dans la cellule, en $mol \cdot m^{- 3}$ ), en rappelant les hypothèses.
Q20. Calculer $Π$ dans le diffuseur (masse volumique de l'eau) ; comparer aux $34 bar$ mesurés ; discuter les approximations.
Q21. Problème majeur causé par l'osmose ?

Four à chaux. $CaO$ et $CO X_{2}$ sont produits à partir de $CaCO X_{3}$ ; solides non miscibles. Données indépendantes de $T$ :

	$CaO (s)$	$CO X_{2} (g)$	$CaCO X_{3} (s)$
$Δ_{f} H^{\circ}$ ( $kJ \cdot mo l^{- 1}$ )	$- 635, 1$	$- 393, 5$	$- 1207, 4$
$S_{m}^{\circ}$ ( $J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ )	$38, 1$	$213, 7$	$92, 9$

Q22. Équation de la décomposition de $CaCO X_{3} (s)$ en $CaO (s)$ et $CO X_{2} (g)$ .
Q23. Calculer $P (CO X_{2})_{e ˊ q}$ à $1000 K$ .
Q24. Choix de la température pour un rendement optimal.

Réacteur de volume $V = 150 L$ , initialement vide, contenant $1 mol$ de $CaCO X_{3}$ :

{Figure 7 — Pression dans le réacteur en fonction de la température}

Q25. Constituants présents sur chaque partie de la courbe ; interpréter l'allure.
Q26. Compléter les trois return d'un script Python (scipy.optimize, math.exp) : f(T), pression pour $T < T_{chgt}$ ; g(T), pression pour $T > T_{chgt}$ ; h(T), dont op.bisect(h, 800, 1200) renvoie la racine $T_{chgt}$ .

Cinétique. Taux de conversion de $CaCO X_{3}$ en fonction du temps :

{Figure 8 — Influence de $T$ , sous $P (CO X_{2}) = 16, 71 kPa$ Figure 9 — Influence de $P (CO X_{2})$ , à $T = 89 0^{\circ} C$ }

Q27. Exploiter ces résultats ; proposer des conditions opératoires optimales.

Chaulage. $CaO (s) + H X_{2} O (l) Ca (OH) X_{2} (s)$ (totale), à $4 5^{\circ} C$ , $2, 5 kg$ de $CaO$ par $m^{3}$ ; pH visé $\approx 12, 5$ .

solubilité de $Ca (OH) X_{2}$ (eau pure, $4 5^{\circ} C$ )	$1, 25 g \cdot L^{- 1}$
$M (CaO)$ ; $M (Ca (OH) X_{2})$	$56, 1$ ; $74, 1 g \cdot mo l^{- 1}$
$R$	$8, 31 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$

Q28. Vérifier que ces conditions donnent le pH souhaité.

Corrigé

Q17. Le potentiel chimique du saccharose en solution diluée idéale vaut $μ = μ^{\circ} + R T ln (c / c^{\circ})$ . Dans la cellule ( $16%$ en masse), $c$ est grand ; dans l'eau d'extraction, $c$ est faible : $μ_{int} > μ_{ext}$ . Pour le transfert de $d n > 0$ de saccharose de l'intérieur vers l'extérieur, à $T$ et $P$ fixées :

$d G = (μ_{ext} - μ_{int}) d n < 0.$

Le second principe impose $d G \leq 0$ pour une évolution spontanée à $T$ et $P$ constantes : le saccharose migre spontanément du milieu où son potentiel chimique est le plus élevé vers celui où il est le plus bas, jusqu'à l'égalité des potentiels chimiques (égalité des concentrations). Microscopiquement, c'est la diffusion décrite par la loi de Fick, $j = - D grad c$ . L'eau chaude accélère le phénomène (le coefficient de diffusion augmente avec $T$ ) et rend la paroi cellulaire perméable au saccharose.

Q18. Une membrane semi-perméable laisse passer le solvant (l'eau) mais pas le soluté. Si elle sépare le solvant pur (ou une solution diluée) d'une solution plus concentrée, le solvant traverse spontanément la membrane vers la solution la plus concentrée : c'est l'osmose. Le potentiel chimique de l'eau y est plus faible, car sa fraction molaire est plus petite.

La pression osmotique $Π$ d'une solution est la surpression qu'il faut exercer sur la solution, par rapport au solvant pur, pour arrêter ce flux et réaliser l'équilibre de l'eau de part et d'autre de la membrane.

Q19. Hypothèses : solution idéale (activité de l'eau égale à $x (H X_{2} O (l))$ ), eau liquide incompressible ( $V^{*}$ constant), solution diluée ( $x_{s} = 1 - x (H X_{2} O (l)) ≪ 1$ ), membrane parfaitement semi-perméable, même température $T$ .

Pour une phase condensée, $(\partial μ / \partial P)_{T} = V^{*}$ , d'où $μ (T, P) = μ^{\circ} + V^{*} (P - P^{\circ})$ pour l'eau pure. D'un côté, eau pure sous $P$ ; de l'autre, solution sous $P + Π$ . L'équilibre de l'eau à travers la membrane impose l'égalité des potentiels chimiques :

$μ^{\circ} (H X_{2} O (l)) + V^{*} (P - P^{\circ}) = μ^{\circ} (H X_{2} O (l)) + V^{*} (P + Π - P^{\circ}) + R T ln x (H X_{2} O (l)),$

$soit Π V^{*} = - R T ln x (H X_{2} O (l)) = - R T ln (1 - x_{s}) ≃ R T x_{s} ≃ R T \frac{n _{s}}{n _{eau}} .$

Pour une solution diluée, le volume de la solution est pratiquement celui du solvant, $V ≃ n_{eau} V^{*}$ . D'où

$Π = \frac{n _{s}}{V} R T = C R T (loi de Van ’t Hoff, C en mol \cdot m^{- 3}, Π en Pa).$

Q20. Dans $1 m^{3}$ de liquide intracellulaire ( $ρ = 1000 kg \cdot m^{- 3}$ ), il y a $160 kg$ de saccharose :

$C = \frac{w ρ}{M} = \frac{0 , 16 \times 1000}{0 , 342} = 4, 68 \times 1 0^{2} mol \cdot m^{- 3},$

$Π = C R T = 4, 68 \times 1 0^{2} \times 8, 31 \times 343 = 1, 33 \times 1 0^{6} Pa \approx 13 bar .$

L'ordre de grandeur (la dizaine de bars) est correct, mais la valeur est environ $2, 5$ fois plus faible que les $34 bar$ observés. Discussion des approximations :

solution diluée : la fraction molaire du saccharose vaut $x_{s} = \frac{0 , 16/342}{0 , 16/342 + 0 , 84/18 , 0} \approx 1, 0 \times 1 0^{- 2}$ ; remplacer $- ln (1 - x_{s})$ par $x_{s}$ ne coûte que $0, 5%$ . L'approximation est bonne ;
masse volumique : celle du jus sucré ( $\approx 1, 06 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ ) dépasse celle de l'eau, d'où une sous-estimation de $C$ de quelques pourcents ;
solution idéale : les solutions de saccharose à cette teneur s'écartent de l'idéalité (forte hydratation du saccharose), d'où une pression osmotique réelle supérieure d'environ $10%$ ;
surtout, seul le saccharose est pris en compte. Le liquide cellulaire contient d'autres solutés osmotiquement actifs : sels dissociés en ions ( $K X^{+}$ , $Na X^{+}$ …), acides aminés, autres sucres. $Π$ est proportionnelle à la concentration totale en particules dissoutes ; ce terme explique l'essentiel de l'écart.

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