Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie A — I et II (Q1 à Q8) : Groupes d'exposant fini, sous-groupes finis de O2(R), groupes diédraux

Q1. Supposons $G$ fini. Soit $x\in G$. Les puissances $x^k$, $k\in \mathbb{N}$, sont en nombre fini : il existe $a<b$ avec $x^a=x^b$, d'où $x^{b-a}=I_n$ avec $b-a\ge 1$. Ainsi $x$ est d'ordre fini $d_x$, et $x^N=I_n$ dès que $d_x\mid N$ (propriété clé de l'ordre). Posons $m={\prod }_{x\in G}{d}_x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (produit fini) : chaque $d_x$ divise $m$, donc $x^m=I_n$ pour tout $x\in G$, et $G$ est d'exposant fini. (Le théorème de Lagrange donne directement $m=|G|$.) Enfin $\mathrm{tr}G$ est l'image de l'ensemble fini $G$ par l'application $A\mapsto \mathrm{tr}A$ : il est fini, de cardinal au plus $|G|$.

Q2. Pour $k\in \mathbb{Z}$, posons $N_k=I_n+k{E}_{1,2}$ ($E_{1,2}$ matrice élémentaire). Comme $E_{1,2}^2=0$,

$$N_k{N}_l=I_n+(k+l)E_{1,2}+kl{E}_{1,2}^2=N_{k+l}.$$

Donc $N_k{N}_{-k}=N_0=I_n$ : chaque $N_k$ est inversible d'inverse $N_{-k}$, et $G=\{N_k;k\in \mathbb{Z}\}$ contient $I_n$, est stable par produit et par inverse : c'est un sous-groupe de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$. Il est infini ($k\mapsto N_k$ est injective, le coefficient $(1,2)$ valant $k$), et $\mathrm{tr}{N}_k=n$ pour tout $k$ : $\mathrm{tr}G=\{n\}$ est fini.

Q3. Soit $G=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^{\mathbb{N}}$, ensemble des suites à valeurs dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, muni de l'addition terme à terme : c'est un groupe abélien (produit de groupes), de neutre la suite nulle. Il est infini (les suites ${\delta }_p$, valant $\overline{1}$ au rang $p$ et $\overline{0}$ ailleurs, sont deux à deux distinctes), et pour toute suite $x$, $x+x=0$ puisque $\overline{a}+\overline{a}=\overline{2a}=\overline{0}$. Il est d'exposant $2$.

Q4. Existence. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$. Ses colonnes forment une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^2$ : $a^2+b^2=1$. Posons ${\theta }_0=\arccos a\in [0,\pi ]$ ; alors $\sin {\theta }_0=\sqrt{1-a^2}=|b|$. Si $b\ge 0$, on prend $\theta ={\theta }_0$ ; si $b<0$, on prend $\theta =2\pi -{\theta }_0\in ]\pi ,2\pi [$ (car ${\theta }_0\in ]0,\pi [$ puisque $|a|<1$), et $\cos \theta =a$, $\sin \theta =-|b|=b$. Dans les deux cas $\theta \in [0,2\pi [$, $a=\cos \theta$, $b=\sin \theta$. La seconde colonne $(c,d)$ est unitaire et orthogonale à $(a,b)$ : c'est $\pm (-b,a)$ (l'orthogonal de $(a,b)$ est la droite dirigée par $(-b,a)$, de norme $1$). Or $\det A=ad-bc=\pm (a^2+b^2)=\pm 1$ et $\det A=1$ : le signe est $+$, donc $A=R_{\theta }$.

Unicité. Si $R_{\theta }=R_{{\theta }^{\prime }}$ avec $\theta ,{\theta }^{\prime }\in [0,2\pi [$, alors $\cos \theta =\cos {\theta }^{\prime }$ et $\sin \theta =\sin {\theta }^{\prime }$, donc ${\theta }^{\prime }-\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$ ; comme $|{\theta }^{\prime }-\theta |<2\pi$, $\theta ={\theta }^{\prime }$.

Fait utile pour la suite : $R_{\alpha }=I_2⟺(\cos \alpha ,\sin \alpha )=(1,0)⟺\alpha \in 2\pi \mathbb{Z}$, donc $R_{\alpha }=R_{\beta }⟺\alpha -\beta \in 2\pi \mathbb{Z}$ (car $R_{\alpha }{R}_{-\beta }=R_{\alpha -\beta }$).