Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie A — III (Q9 à Q14) : Sous-groupes finis de On(R) : fini, exposant fini, trace finie

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$G$ est un sous-groupe de $O_{n} (R)$ ; on veut montrer : $G$ fini $⟺$ $G$ d'exposant fini $⟺$ $tr G$ fini (notations de Q1 à Q8).

Q9. Rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.
Q10. Si $G$ est d'exposant fini, montrer que $tr G$ est fini.

On suppose désormais $tr G$ fini. $M_{n} (R)$ est muni de $(A ∣ B) = tr (A^{⊤} B)$ ; $F = Vect (G)$ , $d = dim F$ .

Q11. Montrer qu'il existe une base $B = (A_{i})_{1 \leq i \leq d}$ de $F$ formée d'éléments de $G$ .
Q12. $B = ((A_{i} ∣ A_{j}))_{i, j}$ ; $C$ est la matrice des coordonnées des $A_{i}$ dans la base canonique. a) Taille de $C$ . b) $B = C^{⊤} C$ . c) $B$ et $C$ ont même rang ; $B$ est inversible.
Q13. Pour $M = \sum_{j} x_{j} A_{j} \in G$ , $X_{M} = (x_{j})_{j}$ et $Y_{M} = ((A_{i} ∣ M))_{i}$ : montrer $X_{M} = B^{- 1} Y_{M}$ .
Q14. Montrer que ${Y_{M}; M \in G}$ est fini, puis que $G$ est fini.

Corrigé

Q9. Théorème (réduction des isométries en base orthonormée). Pour toute $A \in O_{n} (R)$ , il existe $P \in O_{n} (R)$ , des entiers $p, q, k \geq 0$ avec $p + q + 2 k = n$ , et des réels $θ_{1}, \dots, θ_{k} \in] 0, 2 π [∖ {π}$ tels que

$P^{⊤} A P = P^{- 1} A P = diag (I_{p}, - I_{q}, R_{θ_{1}}, \dots, R_{θ_{k}}),$

matrice diagonale par blocs (blocs $1 \times 1$ égaux à $\pm 1$ , blocs $2 \times 2$ de rotation). Autrement dit, l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ admet, dans une base orthonormée convenable, cette matrice.

Q10. Soit $m \in N^{*}$ tel que $M^{m} = I_{n}$ pour tout $M \in G$ . Soit $M \in G$ ; écrivons $M = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (I_{p}, - I_{q}, R_{θ_{1}}, \dots, R_{θ_{k}})$ comme en Q9. Alors

$I_{n} = M^{m} = P D^{m} P^{- 1}, donc D^{m} = diag (I_{p}, (- 1)^{m} I_{q}, R_{m θ_{1}}, \dots, R_{m θ_{k}}) = I_{n},$

le calcul des puissances d'une matrice diagonale par blocs se faisant bloc par bloc et $R_{θ}^{m} = R_{m θ}$ (Q5a). On en tire $R_{m θ_{j}} = I_{2}$ , soit $m θ_{j} \in 2 π Z$ (Q4) : $θ_{j} = \frac{2 π l _{j}}{m}$ avec $l_{j} \in [[0, m - 1]]$ (car $θ_{j} \in] 0, 2 π [$ ). La trace étant invariante par similitude,

$tr M = tr D = p - q + 2 j = 1 \sum k cos \frac{2 π l _{j}}{m} .$

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