Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie B — I (Q15 à Q21) : Produit scalaire associé à une matrice définie positive, ordre de Loewner

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$M_{n, 1} (R)$ est muni du produit scalaire canonique $(\cdot ∣ \cdot)$ et de la norme $∥ \cdot ∥$ ; $B (0, r)$ est la boule fermée de centre $0$ et de rayon $r \geq 0$ , $B = B (0, 1)$ . Soient $A \in S_{n}^{++} (R)$ , $B \in S_{n} (R)$ .

Q15. Montrer que $⟨ X, Y ⟩_{A} = (A X ∣ Y)$ est un produit scalaire ; on note $∥ \cdot ∥_{A}$ sa norme et $B_{A}$ sa boule unité fermée. Existe-t-il $A$ telle que $B (0, r) = B_{A}$ ?
Q16. Vérifier que $X \mapsto A^{- 1} B X$ est autoadjoint pour $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{A}$ ; conséquence pour $A^{- 1} B$ ?

Pour $A, B \in S_{n} (R)$ , $B ≼ A$ signifie : $(B X ∣ X) \leq (A X ∣ X)$ pour tout $X$ .

Q17. $B ≼ A ⟺ A - B \in S_{n}^{+} (R)$ .
Q18. Pour $A, B \in S_{n}^{++} (R)$ : $B ≼ A ⟺ Sp (A^{- 1} B) \subset] 0, 1]$ .
Q19. Si de plus $B ≼ A$ : $det B \leq det A$ , avec égalité si et seulement si $A = B$ .
Q20. $B ≼ A ⟺ B_{A} \subset B_{B}$ .
Q21. Une partie $K$ de $S_{n}^{+} (R)$ est bornée si et seulement s'il existe $α > 0$ tel que $A ≼ α I_{n}$ pour tout $A \in K$ .

Corrigé

On rappelle que $(X ∣ Y) = X^{⊤} Y$ , et que $M \in S_{n} (R)$ est positive (resp. définie positive) si $X^{⊤} M X \geq 0$ pour tout $X$ (resp. $X^{⊤} M X > 0$ pour tout $X \neq = 0$ ) ; par la caractérisation spectrale, cela équivaut à $Sp (M) \subset R_{+}$ (resp. $R_{+}^{*}$ ).

Q15. Pour $X, Y \in M_{n, 1} (R)$ , $⟨ X, Y ⟩_{A} = (A X)^{⊤} Y = X^{⊤} A^{⊤} Y = X^{⊤} A Y$ .

Bilinéarité : $(X, Y) \mapsto X^{⊤} A Y$ est linéaire en chaque variable (produit matriciel).
Symétrie : $X^{⊤} A Y$ est un réel, égal à sa transposée $Y^{⊤} A^{⊤} X = Y^{⊤} A X = ⟨ Y, X ⟩_{A}$ .
Caractère défini positif : $⟨ X, X ⟩_{A} = X^{⊤} A X > 0$ pour $X \neq = 0$ , car $A \in S_{n}^{++} (R)$ .

C'est donc un produit scalaire.

Boules. Si $r > 0$ , $A = r^{- 2} I_{n}$ convient : $∥ X ∥_{A}^{2} = ∥ X ∥^{2} / r^{2}$ , donc $∥ X ∥_{A} \leq 1 ⟺ ∥ X ∥ \leq r$ . Si $r = 0$ , $B (0, 0) = {0}$ , alors que $B_{A}$ contient toujours $X /∥ X ∥_{A}$ pour tout $X \neq = 0$ : aucune $A$ ne convient. Réponse : oui si et seulement si $r > 0$ . (La matrice est alors unique : une norme est déterminée par sa boule unité, $∥ X ∥_{A} = in f {t > 0; X / t \in B_{A}}$ , et la forme quadratique $X^{⊤} A X$ détermine la matrice symétrique $A$ par polarisation.)

Q16. Notons $u : X \mapsto A^{- 1} B X$ . Pour $X, Y$ :

$⟨ u (X), Y ⟩_{A} = (A A^{- 1} B X ∣ Y) = (B X ∣ Y) = X^{⊤} B Y,$

$⟨ X, u (Y) ⟩_{A} = X^{⊤} A A^{- 1} B Y = X^{⊤} B Y .$

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