Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie B — II et III (Q22 à Q25) : Log-concavité du déterminant, groupe orthogonal O(A)

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une fonction $φ$ définie sur une partie convexe $C$ de $M_{n} (R)$ est strictement concave si, pour tous $A, B \in C$ et $t \in [0, 1]$ , $φ (t A + (1 - t) B) \geq tφ (A) + (1 - t) φ (B)$ , avec égalité si et seulement si $A = B$ ou $t \in {0, 1}$ . Pour $A \in S_{n}^{++} (R)$ , $O (A) = {M \in M_{n} (R); M^{⊤} A M = A}$ . Notations de Q15 à Q21.

Q22. Montrer que $S_{n}^{++} (R)$ est une partie convexe de $M_{n} (R)$ .
Q23. Montrer que $A \mapsto ln (det A)$ est strictement concave sur $S_{n}^{++} (R)$ (on pourra utiliser Q16).
Q24. Montrer que $O (A)$ est un sous-groupe de $GL_{n} (R)$ isomorphe à $O_{n} (R)$ (écrire $A = B^{⊤} B$ et chercher un isomorphisme $M \mapsto B^{- 1} M B$ ).
Q25. Montrer que $O (A)$ est une partie compacte de $M_{n} (R)$ .

Corrigé

Q22. Soient $A, B \in S_{n}^{++} (R)$ et $t \in [0, 1]$ . La matrice $M = t A + (1 - t) B$ est symétrique (combinaison linéaire de matrices symétriques). Pour $X \neq = 0$ ,

$X^{⊤} M X = t X^{⊤} A X + (1 - t) X^{⊤} B X > 0,$

car $X^{⊤} A X > 0$ , $X^{⊤} B X > 0$ , $t \geq 0$ , $1 - t \geq 0$ et $t, 1 - t$ ne sont pas tous deux nuls. Donc $M \in S_{n}^{++} (R)$ : la partie est convexe. (Le même calcul, avec des inégalités larges, montre que $S_{n}^{+} (R)$ est convexe.)

Q23. Définition. Pour $A \in S_{n}^{++} (R)$ , $det A$ est le produit des valeurs propres, toutes $> 0$ (théorème spectral et caractérisation spectrale) : $det A > 0$ et $φ (A) = ln (det A)$ est bien défini.

Réduction simultanée. Soient $A, B \in S_{n}^{++} (R)$ et $t \in [0, 1]$ . D'après Q16, il existe $P \in GL_{n} (R)$ et $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ avec

$P^{⊤} A P = I_{n} et A^{- 1} B P = P D,$

et $λ_{i} > 0$ (Q18). Alors $P^{⊤} B P = P^{⊤} A (A^{- 1} B P) = P^{⊤} A P D = D$ . Par linéarité,

$P^{⊤} (t A + (1 - t) B) P = t I_{n} + (1 - t) D = diag (t + (1 - t) λ_{i})_{1 \leq i \leq n} .$

En prenant les déterminants ( $det P^{⊤} = det P$ ) :

$(det P)^{2} det A = 1, (det P)^{2} det B = i = 1 \prod n λ_{i},$

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