Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie B — IV (Q26 à Q29) : Sous-groupes compacts de GLn(R) et ellipsoïde de volume minimal

Q26. L'application $\det :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ est polynomiale en les coefficients, donc continue ; $\det (G)$ est l'image continue du compact $G$, donc un compact de $\mathbb{R}$, en particulier borné : il existe $K\ge 0$ avec $|\det M|\le K$ pour tout $M\in G$.

Soit $M\in G$ ; $c=|\det M|>0$. Si $c>1$, alors pour tout $k\in \mathbb{N}$, $M^k\in G$ et $|\det (M^k)|=c^k\underset{k\to +\infty }{\to }+\infty$, ce qui contredit la bornitude. Si $c<1$, $M^{-1}\in G$ et $|\det M^{-1}|=1/c>1$ : même contradiction. Donc $|\det M|=1$.

Q27. Compacité. $\mathcal{B}$ est fermée et bornée dans ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, de dimension finie : elle est compacte. Le produit $G\times \mathcal{B}$ de deux compacts est compact. L'application $\mu :(M,X)\mapsto MX$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\times {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ dans ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ est bilinéaire sur un produit d'espaces de dimension finie, donc continue. Ainsi $\mathcal{C}=\mu (G\times \mathcal{B})$ est compact (image continue d'un compact).

Point intérieur. $I_n\in G$, donc $\mathcal{B}=\{I_{n}X;X\in \mathcal{B}\}\subset \mathcal{C}$. La boule ouverte de centre $0$ et de rayon $1$ est incluse dans $\mathcal{B}$, donc dans $\mathcal{C}$ : $\mathcal{C}$ est un voisinage de $0$, et $0$ est intérieur à $\mathcal{C}$.