Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie C — I (Q30 à Q32) : Longueur des mots et croissance d'un groupe de type fini

Préliminaire. ${\ell }_{\mathcal{S}}$ est bien défini : $\mathcal{S}$ engendrant $G$, tout $g$ est un produit fini d'éléments de $\mathcal{S}$ et de leurs inverses, c'est-à-dire une écriture $s_1^{a_1}\cdots s_k^{a_k}$ avec $a_i=\pm 1$ ; l'ensemble des $\sum |a_i|$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$, qui admet un minimum. Pour $g=e$, la convention ${\ell }_{\mathcal{S}}(e)=0$ correspond au produit vide (ou à $a_1=0$).

Q30. Inverse. Soit $g=s_1^{a_1}\cdots s_k^{a_k}$ une écriture réalisant ${\ell }_{\mathcal{S}}(g)=\sum |a_i|$. Alors $g^{-1}=s_k^{-a_k}\cdots s_1^{-a_1}$ est une écriture admissible de $g^{-1}$, de poids $\sum |-a_i|={\ell }_{\mathcal{S}}(g)$ ; donc ${\ell }_{\mathcal{S}}(g^{-1})\le {\ell }_{\mathcal{S}}(g)$. En appliquant ceci à $g^{-1}$ : ${\ell }_{\mathcal{S}}(g)\le {\ell }_{\mathcal{S}}(g^{-1})$, d'où l'égalité (le cas $g=e$ est trivial).

Produit. Si $g=s_1^{a_1}\cdots s_k^{a_k}$ et $h=t_1^{b_1}\cdots t_m^{b_m}$ sont des écritures optimales, la concaténation $gh=s_1^{a_1}\cdots s_k^{a_k}{t}_1^{b_1}\cdots t_m^{b_m}$ est une écriture de $gh$ de poids ${\ell }_{\mathcal{S}}(g)+{\ell }_{\mathcal{S}}(h)$ ; le minimum est donc inférieur : ${\ell }_{\mathcal{S}}(gh)\le {\ell }_{\mathcal{S}}(g)+{\ell }_{\mathcal{S}}(h)$ (si $gh=e$, le membre de gauche est nul et l'inégalité est triviale ; si $g$ ou $h$ vaut $e$, elle est évidente).