Corrigé Centrale 2026 Maths 1 MP — Partie C — II (Q33 à Q41) : Le groupe de Heisenberg discret est à croissance de degré 4

Q33. On utilise $E_{k,l}{E}_{k^{\prime },l^{\prime }}={\delta }_{l,k^{\prime }}{E}_{k,l^{\prime }}$. Comme $E_{2,3}^2=E_{1,2}^2=E_{1,3}^2=0$, on a $(I_3+i{E}_{2,3})(I_3+i^{\prime }{E}_{2,3})=I_3+(i+i^{\prime })E_{2,3}$ ; d'où $S^i=I_3+i{E}_{2,3}$ pour $i\in \mathbb{N}$ par récurrence, puis $S^{-1}=I_3-E_{2,3}$ et $S^{-i}=I_3-i{E}_{2,3}$ : la formule vaut pour $i\in \mathbb{Z}$. De même $T^j=I_3+j{E}_{1,2}$ et $U^k=I_3+k{E}_{1,3}$. Ensuite, $E_{2,3}{E}_{1,2}=0$, $E_{2,3}{E}_{1,3}=0$, $E_{1,2}{E}_{1,3}=0$, donc

$$S^i{T}^j=I_3+i{E}_{2,3}+j{E}_{1,2},S^i{T}^j{U}^k=I_3+j{E}_{1,2}+k{E}_{1,3}+i{E}_{2,3}=\left(\begin{array}{ccc}1& j& k\\ 0& 1& i\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Q34. Notons $[i,j,k]=S^i{T}^j{U}^k$. Le produit de deux matrices de la forme de Q33 se calcule directement :

$$\left(\begin{array}{ccc}1& j& k\\ 0& 1& i\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& j^{\prime }& k^{\prime }\\ 0& 1& i^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& j+j^{\prime }& k^{\prime }+j{i}^{\prime }+k\\ 0& 1& i+i^{\prime }\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Donc $(i^{\prime \prime },j^{\prime \prime },k^{\prime \prime })=(i+i^{\prime },j+j^{\prime },k+k^{\prime }+j{i}^{\prime })$ convient :

$$[i,j,k][i^{\prime },j^{\prime },k^{\prime }]=[i+i^{\prime },j+j^{\prime },k+k^{\prime }+j{i}^{\prime }].$$

Conséquence. L'ensemble $\mathcal{H}=\{[i,j,k];(i,j,k)\in {\mathbb{Z}}^3\}$ est stable par produit, contient $I_3=[0,0,0]$ et les inverses : $[i,j,k][-i,-j,ij-k]=[0,0,k+ij-k-ji]=I_3$. C'est un sous-groupe de ${\mathrm{GL}}_3(\mathbb{R})$ contenant $S=[1,0,0]$, $T=[0,1,0]$, $U=[0,0,1]$, donc $\mathbb{H}\subset \mathcal{H}$ ; et chaque $[i,j,k]=S^i{T}^j{U}^k$ est dans $\mathbb{H}$. Ainsi $\mathbb{H}=\mathcal{H}$.

Q35. Pour tout $[i,j,k]\in \mathbb{H}$, Q34 donne $U[i,j,k]=[0,0,1][i,j,k]=[i,j,k+1]$ et $[i,j,k]U=[i,j,k+1+j\cdot 0]=[i,j,k+1]$ : $U$ commute avec tout élément de $\mathbb{H}$. Ensuite, $T^j{S}^i=[0,j,0][i,0,0]=[i,j,ji]=S^i{T}^j{U}^{ij}$.

Q36. $ST=[1,1,0]$ et $TS=[1,1,1]=STU$ (Q35 avec $i=j=1$) ; comme $U\ne I_3$, $ST\ne TS$ : $\mathbb{H}$ n'est pas commutatif. De $TS=STU$ on tire $U=(ST{)}^{-1}TS=T^{-1}{S}^{-1}TS\in ⟨S,T⟩$. Donc $⟨S,T⟩$ contient $S,T,U$, puis $\mathbb{H}$ ; l'inclusion inverse est claire : $⟨S,T⟩=\mathbb{H}$.

Q37. $f$ est bien définie à valeurs dans $\mathbb{H}$ (produit de puissances d'éléments de $\mathbb{H}$). D'après Q33, $f(i,j,k)$ a pour coefficients $(1,2)$, $(2,3)$, $(1,3)$ respectivement $j$, $i$, $k$ : on lit $(i,j,k)$ sur $f(i,j,k)$, donc $f$ est injective ; elle est surjective car $\mathbb{H}=\mathcal{H}$ (Q34). $f$ est bijective.