Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PSI — Partie A — I (Q1 à Q3) : Premier pile : loi géométrique, fonction génératrice, espérance et variance

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On lance indéfiniment une pièce, les lancers étant mutuellement indépendants ; $p \in] 0, 1 [$ est la probabilité de pile, $q = 1 - p$ celle de face. Pour $n \in N^{*}$ , $X_{n}$ est le numéro du lancer où l'on obtient pour la première fois $n$ piles consécutifs ( $X_{n} = + \infty$ si cela n'arrive jamais). On note $P_{i}$ (resp. $F_{i}$ ) l'événement « le $i$ -ième lancer donne pile (resp. face) ».

Q1. Donner la loi de $X_{1}$ .
Q2. Donner directement la fonction génératrice de $X_{1}$ , son espérance et sa variance.
Q3. Démontrer les résultats de Q2.

Corrigé

Q1. $X_{1}$ est le rang du premier pile. Pour $k \in N^{*}$ , $(X_{1} = k) = F_{1} \cap \dots \cap F_{k - 1} \cap P_{k}$ , et par indépendance des lancers

$P (X_{1} = k) = q^{k - 1} p .$

De plus $(X_{1} = + \infty) = ⋂_{k ⩾ 1} (F_{1} \cap \dots \cap F_{k})$ ; ces événements décroissent et $P (F_{1} \cap \dots \cap F_{k}) = q^{k} \to 0$ puisque $0 < q < 1$ , donc par continuité décroissante $P (X_{1} = + \infty) = 0$ . Ainsi $X_{1}$ suit la loi géométrique $G (p)$ : $X_{1} (Ω) = N^{*}$ presque sûrement et $P (X_{1} = k) = p q^{k - 1}$ .

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