Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PSI — Partie A — II (Q4 à Q13) : Deux piles consécutifs : récurrence d'ordre 2, fonction génératrice, moments

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations : lancers indépendants, $p \in] 0, 1 [$ probabilité de pile, $q = 1 - p$ ; $P_{i}$ , $F_{i}$ : pile, face au $i$ -ième lancer ; $X_{2}$ est le rang où l'on obtient pour la première fois deux piles consécutifs ( $+ \infty$ si jamais).

Q4. Calculer $P (X_{2} = 1)$ et $P (X_{2} = 2)$ .
Q5. Pour $k > 2$ et $X_{2} = k$ , quels sont les résultats possibles des deux premiers lancers ?
Q6. En déduire, pour $k > 2$ , $P (X_{2} = k) = q P (X_{2} = k - 1) + pq P (X_{2} = k - 2)$ .
Q7. Montrer que $X^{2} - q X - pq$ a deux racines $r_{2} < r_{1}$ dans $] - 1, 1 [$ , avec $∣ r_{2} ∣ < ∣ r_{1} ∣$ .
Q8. Rayon de convergence $R$ de $\sum_{k ⩾ 2} (r_{1}^{k - 1} - r_{2}^{k - 1}) z^{k}$ .
Q9. Exprimer $P (X_{2} = k)$ pour $k > 2$ .
Q10. Écrire $(X_{2} = + \infty)$ à l'aide des $(X_{2} ⩾ k)$ ; en déduire $P (X_{2} = + \infty) = 0$ .
Q11. Montrer que $G_{X_{2}} (z) = \frac{p ^{2} z ^{2}}{1 - q z - pq z ^{2}}$ pour $∣ z ∣ < R$ .
Q12. Montrer que $X_{2}$ admet une espérance et une variance.
Q13. Calculer $E (X_{2})$ et montrer que $V (X_{2}) = \frac{1}{p ^{4}} + \frac{2}{p ^{3}} - \frac{2}{p ^{2}} - \frac{1}{p}$ .

Corrigé

Q4. Un seul lancer ne peut donner deux piles : $(X_{2} = 1) = \emptyset$ , $P (X_{2} = 1) = 0$ . Puis $(X_{2} = 2) = P_{1} \cap P_{2}$ , d'où par indépendance $P (X_{2} = 2) = p^{2}$ .

Q5. Si $X_{2} = k$ avec $k ⩾ 3$ , les deux premiers lancers ne sont pas (pile, pile), sinon on aurait $X_{2} = 2$ . Les deux premiers résultats sont donc dans ${F P, F F, P F}$ : ou bien le premier lancer est face, ou bien les deux premiers sont (pile, face). Précisément, $X_{2} = k$ impose $P_{k - 1} \cap P_{k}$ , $F_{k - 2}$ (sinon on aurait eu deux piles au rang $k - 1$ ) et aucun double pile avant : pour $k = 3$ seul $F P$ est possible ( $F P P$ ) ; pour $k = 4$ , $F F$ ou $P F$ ( $F F P P$ , $P F P P$ ) ; pour $k ⩾ 5$ , les trois cas $F P$ , $F F$ , $P F$ se produisent (par exemple $F P F \dots F P P$ , $F F \dots F P P$ , $P F \dots F P P$ ).

Q6. Mise en place. Pour $m \in N^{*}$ , notons $B_{m}$ l'ensemble des mots $w \in {P, F}^{m}$ dans lesquels la première occurrence de $P P$ se termine en position $m$ . L'événement $(X_{2} = m)$ ne dépend que des $m$ premiers lancers : c'est « $(ω_{1}, \dots, ω_{m}) \in B_{m}$ ». Par indépendance, un mot $w$ de longueur $m$ comportant $a$ piles et $b$ faces sort avec la probabilité $π (w) = p^{a} q^{b}$ , et $P (X_{2} = m) = \sum_{w \in B_{m}} π (w)$ .

Système complet. Pour $k ⩾ 3$ , on utilise le système complet $(F_{1}, P_{1} \cap F_{2}, P_{1} \cap P_{2})$ . D'après Q5, $(X_{2} = k) \cap P_{1} \cap P_{2} = \emptyset$ .

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