Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PSI — Partie B — I (Q14 à Q25) : Trois piles consécutifs : matrice compagnon, réduction et équivalent

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations ( $p \in] 0, 1 [$ , $q = 1 - p$ , lancers indépendants) ; $X_{3}$ est le rang où l'on obtient pour la première fois trois piles consécutifs. Pour $k \in N^{*}$ , $U_{k}$ est la colonne $(P (X_{3} = k + 2), P (X_{3} = k + 1), P (X_{3} = k))^{⊤}$ .

Q14. Donner $P (X_{3} = k)$ pour $k \in {1, 2, 3}$ .
Q15. Montrer, avec un système complet d'événements, que pour $k > 3$ , $P (X_{3} = k) = q P (X_{3} = k - 1) + pq P (X_{3} = k - 2) + q p^{2} P (X_{3} = k - 3)$ .
Q16. Trouver $M \in M_{3} (R)$ telle que $U_{k + 1} = M U_{k}$ .
Q17. Calculer le polynôme caractéristique $χ_{M}$ .
Q18. Montrer que $χ_{M}$ a une unique racine dans $] 0, 1 [$ .
Q19. Vérifier $(X - p) χ_{M} = X^{4} - X^{3} + q p^{3}$ , puis que $χ_{M}$ a une seule racine réelle.
Q20. Justifier que $M$ est diagonalisable dans $C$ .
Q21. Avec $M = Q D Q^{- 1}$ ( $D$ diagonale), montrer sans calculer $Q$ qu'il existe $(A, B, C) \in C^{3}$ , $λ_{1} \in] 0, 1 [$ , $λ_{2} \in C$ tels que $P (X_{3} = k) = A λ_{1}^{k - 1} + B λ_{2}^{k - 1} + C λ_{2}^{k - 1}$ pour $k ⩾ 1$ .
Q22. Déterminer $A$ en fonction de $λ_{1}, λ_{2}$ .
Q23. Avec $λ_{2} = r e^{i θ}$ , trouver $(a, b, c) \in R^{3}$ tel que $P (X_{3} = k) = a λ_{1}^{k - 1} + b r^{k - 1} cos ((k - 1) θ) + c r^{k - 1} sin ((k - 1) θ)$ .
Q24. Montrer $q < λ_{1}$ , $Re (λ_{2}) < 0$ , $∣ λ_{2} - 1∣ > 1$ , puis $∣ λ_{2} ∣ < λ_{1}$ .
Q25. En déduire un réel $m > 0$ tel que $P (X_{3} = k) \sim m λ_{1}^{k}$ .

Corrigé

Q14. On ne peut avoir trois piles consécutifs en moins de trois lancers : $P (X_{3} = 1) = P (X_{3} = 2) = 0$ ; et $(X_{3} = 3) = P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}$ , donc $P (X_{3} = 3) = p^{3}$ par indépendance.

Q15. On reprend le raisonnement de Q6 (partie A.II). Soit $B_{m}$ l'ensemble des mots de longueur $m$ sur ${P, F}$ dont la première occurrence de $P P P$ se termine en position $m$ ; alors $P (X_{3} = m) = \sum_{w \in B_{m}} π (w)$ où $π (w) = p^{a} q^{b}$ ( $a$ piles, $b$ faces), par indépendance. Soit $k ⩾ 4$ ; on utilise le système complet d'événements

$(F_{1}, P_{1} \cap F_{2}, P_{1} \cap P_{2} \cap F_{3}, P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}) .$

Sur le dernier, $X_{3} = 3 \neq = k$ : il ne contribue pas. Un mot commençant par $F$ , $P F$ ou $P P F$ a ses premières lettres hors de toute occurrence de $P P P$ (le $F$ la coupe et il y a moins de trois $P$ devant) : $F w \in B_{k} ⟺ w \in B_{k - 1}$ , $P F w \in B_{k} ⟺ w \in B_{k - 2}$ , $P P F w \in B_{k} ⟺ w \in B_{k - 3}$ . En factorisant $π (F w) = q π (w)$ , $π (P F w) = pq π (w)$ , $π (P P F w) = p^{2} q π (w)$ :

$P (X_{3} = k) = q P (X_{3} = k - 1) + pq P (X_{3} = k - 2) + q p^{2} P (X_{3} = k - 3) (k ⩾ 4) .$

Q16. Pour $k ⩾ 1$ , $k + 3 > 3$ et Q15 donne $P (X_{3} = k + 3) = q P (X_{3} = k + 2) + pq P (X_{3} = k + 1) + q p^{2} P (X_{3} = k)$ ; les deux autres lignes de $U_{k + 1}$ sont les deux premières de $U_{k}$ . D'où $U_{k + 1} = M U_{k}$ avec

$M = q 10 pq 01 q p^{2} 00 .$

Q17. Avec la convention $χ_{M} = det (X I_{3} - M)$ , en développant selon la première ligne :

$χ_{M} = X - q - 1 0 - pq X - 1 - q p^{2} 0 X$

$χ_{M} = (X - q) X^{2} - (- pq) (- X) + (- q p^{2}) \cdot 1 = X^{3} - q X^{2} - pq X - q p^{2} .$

(On remarque que $χ_{M}$ est la fonction $f$ de l'introduction pour $n = 3$ .)

Q18. $χ_{M} (0) = - q p^{2} < 0$ et $χ_{M} (1) = 1 - q - pq - q p^{2} = p - pq - q p^{2} = p (p - q p) = p^{3} > 0$ . La fonction polynomiale $χ_{M}$ est continue : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule sur $] 0, 1 [$ . Pour l'unicité, sur $] 0, + \infty [$ :

$φ (x) = \frac{χ _{M} ( x )}{x ^{3}} = 1 - \frac{q}{x} - \frac{pq}{x ^{2}} - \frac{q p ^{2}}{x ^{3}}, φ^{'} (x) = \frac{q}{x ^{2}} + \frac{2 pq}{x ^{3}} + \frac{3 q p ^{2}}{x ^{4}} > 0,$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →