Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PSI — Partie B — II (Q26 à Q28) : Le cas p = 3/4 : racines explicites et équivalent

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend la partie B.I avec $p = \frac{3}{4}$ , $q = \frac{1}{4}$ : $χ_{M} = X^{3} - q X^{2} - pq X - q p^{2}$ est le polynôme caractéristique de la matrice $M$ qui fait passer de $U_{k}$ à $U_{k + 1}$ , $λ_{1} \in] 0, 1 [$ sa racine réelle, $λ_{2}, λ_{2}$ ses racines non réelles, et $P (X_{3} = k) \sim m λ_{1}^{k}$ avec $m = \frac{p ^{3}}{λ _{1} ∣ λ _{1} - λ _{2} ∣ ^{2}}$ (Q25).

Q26. Trouver dans $N$ une racine du polynôme $χ_{M} (\frac{X}{4})$ .
Q27. En déduire toutes les racines de $χ_{M}$ .
Q28. Donner un équivalent de $P (X_{3} = k)$ .

Corrigé

Q26. Avec $p = \frac{3}{4}$ et $q = \frac{1}{4}$ : $pq = \frac{3}{16}$ et $q p^{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{64}$ , donc

$χ_{M} = X^{3} - \frac{1}{4} X^{2} - \frac{3}{16} X - \frac{9}{64},$

$χ_{M} (\frac{X}{4}) = \frac{X ^{3}}{64} - \frac{X ^{2}}{64} - \frac{3 X}{64} - \frac{9}{64} = \frac{X ^{3} - X ^{2} - 3 X - 9}{64} .$

Une racine entière de $X^{3} - X^{2} - 3 X - 9$ divise $9$ ; on essaie $X = 3$ : $27 - 9 - 9 - 9 = 0$ . Ainsi $3$ est racine de $χ_{M} (\frac{X}{4})$ , autrement dit $\frac{3}{4}$ est racine de $χ_{M}$ .

Q27. On factorise par $X - 3$ (division euclidienne) :

$X^{3} - X^{2} - 3 X - 9 = (X - 3) (X^{2} + 2 X + 3),$

ce que l'on vérifie en développant : $X^{3} + 2 X^{2} + 3 X - 3 X^{2} - 6 X - 9 = X^{3} - X^{2} - 3 X - 9$ . Le trinôme $X^{2} + 2 X + 3$ a pour discriminant $4 - 12 = - 8 < 0$ et pour racines $- 1 \pm i 2$ . Comme $x$ est racine de $χ_{M}$ si et seulement si $4 x$ est racine de $X^{3} - X^{2} - 3 X - 9$ , les racines de $χ_{M}$ sont

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