Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PSI — Partie C (Q29 à Q35) : n piles consécutifs : fonction génératrice et espérance

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations ( $p \in] 0, 1 [$ , $q = 1 - p$ , lancers indépendants) ; $n \in N^{*}$ et $X_{n}$ est le rang où l'on obtient pour la première fois $n$ piles consécutifs. On pose, pour $t \in [0, 1]$ ,

$f (t) = t^{n} - q i = 1 \sum n p^{i - 1} t^{n - i} .$

Q29. Donner $P (X_{n} = k)$ pour $k \in {1, \dots, n}$ .
Q30. Montrer que pour $k > n$ , $P (X_{n} = k) = q P (X_{n} = k - 1) + q pP (X_{n} = k - 2) + \dots + q p^{n - 1} P (X_{n} = k - n)$ .
Q31. Calculer $f (1)$ , puis montrer qu'il existe $t \in] p, 1 [$ tel que $f (t) ⩾ 0$ ; on fixe un tel $t$ .
Q32. Montrer par récurrence que $P (X_{n} = k) ⩽ t^{k}$ pour $k \in N^{*}$ .
Q33. Montrer que $G_{X_{n}}$ est définie pour $∣ z ∣ < 1/ t$ et que $G_{X_{n}} (z) = \frac{p ^{n} z ^{n} ( 1 - p z )}{q p ^{n} z ^{n + 1} - z + 1}$ .
Q34. Montrer que $X_{n}$ admet une espérance et calculer $E (X_{n})$ .
Q35. On admet que $G_{X_{n}} (z) = a + \sum_{i = 1}^{n} \frac{a _{i}}{z - λ _{i}}$ pour $∣ z ∣ < 1/ t$ , avec $a, a_{i} \in C$ et des $λ_{i}$ distincts de modules $> 1$ . Exprimer $P (X_{n} = k)$ à l'aide des $a_{i}, λ_{i}$ .

Corrigé

Q29. Pour $k < n$ , on ne peut avoir $n$ piles en $k$ lancers : $P (X_{n} = k) = 0$ . Et $(X_{n} = n) = P_{1} \cap \dots \cap P_{n}$ , donc $P (X_{n} = n) = p^{n}$ par indépendance.

Q30. Mise en place. Pour $m \in N^{*}$ , soit $B_{m}$ l'ensemble des mots $w \in {P, F}^{m}$ dans lesquels la première occurrence de $P^{n}$ ( $n$ lettres $P$ consécutives) se termine en position $m$ . L'événement $(X_{n} = m)$ s'écrit « $(ω_{1}, \dots, ω_{m}) \in B_{m}$ » et, par indépendance des lancers, $P (X_{n} = m) = \sum_{w \in B_{m}} π (w)$ avec $π (w) = p^{a} q^{b}$ ( $a$ piles, $b$ faces).

Système complet. Soit $k > n$ . Les événements $E_{j} = P_{1} \cap \dots \cap P_{j - 1} \cap F_{j}$ ( $1 ⩽ j ⩽ n$ ) et $E_{n + 1} = P_{1} \cap \dots \cap P_{n}$ forment un système complet (selon le rang du premier face, s'il a lieu avant le rang $n + 1$ ). Sur $E_{n + 1}$ , $X_{n} = n < k$ : $(X_{n} = k) \cap E_{n + 1} = \emptyset$ . Pour $j ⩽ n$ , un mot commençant par $P^{j - 1} F$ ne peut avoir d'occurrence de $P^{n}$ touchant ses $j$ premières lettres (la $j$ -ième est $F$ et il n'y a que $j - 1 < n$ lettres avant) ; ses occurrences de $P^{n}$ sont celles du mot restant, décalées de $j$ crans. Donc

$P^{j - 1} F w \in B_{k} ⟺ w \in B_{k - j}, π (P^{j - 1} F w) = p^{j - 1} q π (w) .$

En sommant sur $j$ ( $k - j ⩾ k - n ⩾ 1$ ) :

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