Corrigé Centrale 2026 Maths 1 PSI — Partie D (Q36 à Q45) : Au moins n piles consécutifs en k lancers : récurrence, majoration géométrique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations ( $p \in] 0, 1 [$ , $q = 1 - p$ , lancers indépendants, $f (t) = t^{n} - q \sum_{i = 1}^{n} p^{i - 1} t^{n - i}$ ). Pour $n, k \in N^{*}$ , $A_{n, k}$ est l'événement « au moins $n$ piles consécutifs parmi les $k$ premiers lancers ». On admet que pour tout $(b_{1}, \dots, b_{n}) \in C^{n}$ il existe une unique suite $(u_{k})_{k ⩾ 1}$ telle que $u_{i} = b_{i}$ ( $1 ⩽ i ⩽ n$ ) et, pour $k > n$ , $u_{k} = q u_{k - 1} + q p u_{k - 2} + \dots + q p^{n - 1} u_{k - n}$ $(⋆)$ .

Q36. Donner $P (A_{n, k})$ pour $k \in {1, \dots, n}$ .
Q37. Montrer que pour $k > n$ , $P (A_{n, k}) = p^{n} + q P (A_{n, k - 1}) + q pP (A_{n, k - 2}) + \dots + q p^{n - 1} P (A_{n, k - n})$ .
Q38. Écrire une fonction Python d'entrées $p, k, n$ renvoyant la liste des $P (A_{n, l})$ , $1 ⩽ l ⩽ k$ .
Q39. Trouver une suite constante $(v_{k})$ telle que $v_{k} = p^{n} + q v_{k - 1} + \dots + q p^{n - 1} v_{k - n}$ pour $k > n$ .
Q40. Trouver $(b_{1}, \dots, b_{n})$ tel que la suite $(u_{k})$ de $(⋆)$ vérifie $P (A_{n, k}) = 1 - u_{k}$ .
Q41. Montrer que $0 < u_{k} < 1$ pour $k ⩾ n$ et que $(u_{k})$ décroît.
Q42. Avec $M = max {u_{i + 1} / u_{i}, n ⩽ i ⩽ 2 n - 1}$ , montrer, à l'aide de $f$ et par récurrence d'ordre $n$ à partir du rang $n + 1$ , qu'il existe $α \in [M, 1 [$ tel que $u_{k} ⩽ α^{k - n}$ pour $k ⩾ n + 1$ .
Q43. Calculer $P (⋃_{k ⩾ 1} A_{n, k})$ ; justifier qu'on obtient presque sûrement un jour au moins $10000$ piles consécutifs.
Q44. Pour $n = 5$ , $p = \frac{1}{2}$ , on admet que $α = 0, 9827$ convient et que $0, 982 7^{95} ⩽ 0, 193$ : montrer qu'en $100$ lancers, la probabilité d'au moins cinq piles consécutifs est au moins $0, 8$ .
Q45. En s'inspirant de la partie B, décrire une démarche (sans calculs) établissant $P (A_{n, k}) = 1 - \sum_{i = 1}^{n} c_{i} μ_{i}^{k}$ avec $∣ μ_{i} ∣ < 1$ .

Corrigé

Q36. Pour $k < n$ , $A_{n, k} = \emptyset$ et $P (A_{n, k}) = 0$ ; $A_{n, n} = P_{1} \cap \dots \cap P_{n}$ , donc $P (A_{n, n}) = p^{n}$ par indépendance.

Q37. Comme en Q30 (partie C), $A_{n, m}$ est l'événement « le mot $(ω_{1}, \dots, ω_{m})$ contient $P^{n}$ » et $P (A_{n, m}) = \sum π (w)$ sur ces mots, avec $π (w) = p^{a} q^{b}$ . Soit $k > n$ et le système complet $E_{j} = P_{1} \cap \dots \cap P_{j - 1} \cap F_{j}$ ( $1 ⩽ j ⩽ n$ ), $E_{n + 1} = P_{1} \cap \dots \cap P_{n}$ .

$E_{n + 1} \subset A_{n, k}$ (car $k ⩾ n$ ) : contribution $P (E_{n + 1}) = p^{n}$ .
Pour $j ⩽ n$ , une occurrence de $P^{n}$ dans $P^{j - 1} F w$ ne peut toucher les $j$ premières lettres ( $F$ en position $j$ , seulement $j - 1 < n$ lettres avant) ; donc $P^{j - 1} F w$ contient $P^{n}$ si et seulement si $w$ (de longueur $k - j ⩾ 1$ ) le contient, et $π (P^{j - 1} F w) = q p^{j - 1} π (w)$ : contribution $q p^{j - 1} P (A_{n, k - j})$ .

Par la formule des probabilités totales (sous la forme d'une somme sur un système complet) :

$P (A_{n, k}) = p^{n} + j = 1 \sum n q p^{j - 1} P (A_{n, k - j}) .$

Q38. On applique Q36 puis Q37 de proche en proche (programmation dynamique ; l'indice $0$ de la liste est inutilisé).


def probas_series(p, k, n):
    q = 1 - p
    P = [0.0] * (k + 1)          # P[l] contiendra P(A_{n,l})
    for l in range(1, k + 1):
        if l < n:
            P[l] = 0.0
        elif l == n:
            P[l] = p ** n
        else:
            P[l] = p ** n + sum(q * p ** (i - 1) * P[l - i]
                                for i in range(1, n + 1))
    return P[1:]

La fonction renvoie la liste $[P (A_{n, 1}), \dots, P (A_{n, k})]$ : chaque terme d'indice $l > n$ n'utilise que les $n$ précédents, déjà calculés, et le coût est en $O (k n)$ opérations.

Q39. Une suite constante égale à $v$ convient si et seulement si $v = p^{n} + q v \sum_{i = 1}^{n} p^{i - 1} = p^{n} + v (1 - p^{n})$ (somme géométrique, comme en Q31), soit $p^{n} v = p^{n}$ , c'est-à-dire $v = 1$ : $v_{k} = 1$ pour tout $k$ .

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