Corrigé Centrale 2026 Maths 2 MP — Partie A — I et II (Q1 à Q10) : La fonction zêta et le produit eulérien

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $s > 1$ réel, $ζ (s) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k ^{s}}$ ; on pose $u_{k} (s) = \frac{1}{k ^{s}}$ . Pour $t > 0$ et $s \in C$ , $t^{s} = e^{s l n t}$ . On note $(p_{i})_{i ⩾ 1}$ la suite croissante des nombres premiers, $N_{n}$ l'ensemble des entiers $k ⩾ 1$ dont les facteurs premiers sont parmi $p_{1}, \dots, p_{n}$ , et, pour $Re (s) = x > 1$ , $a_{n} = \prod_{i = 1}^{n} \frac{p _{i}^{x}}{p _{i}^{x} + 1}$ .

Q1. La série $\sum u_{k}$ converge-t-elle normalement sur $] 1, + \infty [$ ?
Q2. Montrer que $ζ$ est continue sur $] 1, + \infty [$ .
Q3. Montrer que $ζ$ ne s'annule pas sur $] 1, + \infty [$ et donner son signe.
Q4. Exprimer $∣ t^{s} ∣$ à l'aide de $t$ , $Re (s)$ , $Im (s)$ .
Q5. Pour $Re (s) > 1$ , montrer que $\sum \frac{1}{k ^{s}}$ converge absolument ; on note encore $ζ (s)$ sa somme.
Q6. Montrer que la famille $((p_{1}^{m_{1}} \dots p_{n}^{m_{n}})^{- s})_{(m_{1}, \dots, m_{n}) \in N^{n}}$ est sommable, de somme $S_{n} (s) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 - p _{i}^{- s}}$ .
Q7. À l'aide de $\sum_{k \in N_{n}} k^{- s}$ , déterminer la limite de $S_{n} (s)$ .
Q8. Nature de la série $\sum_{i} p_{i}^{- x}$ .
Q9. Montrer que $(a_{n})$ converge vers un réel strictement positif.
Q10. Montrer $∣ S_{n} (s) ∣ ⩾ a_{n}$ et en déduire $ζ (s) \neq = 0$ .

Corrigé

Q1. Chaque $u_{k}$ est définie sur $] 1, + \infty [$ et, pour $k ⩾ 2$ , la fonction $s \mapsto k^{- s} = e^{- s l n k}$ est strictement décroissante, de limite $\frac{1}{k}$ quand $s \to 1^{+}$ ; donc

$∥ u_{k} ∥_{\infty,] 1, + \infty [} = s > 1 sup \frac{1}{k ^{s}} = \frac{1}{k} (et ∥ u_{1} ∥_{\infty} = 1) .$

La série harmonique $\sum \frac{1}{k}$ diverge : la série $\sum u_{k}$ ne converge pas normalement sur $] 1, + \infty [$ .

En revanche, pour tout $a > 1$ , sur $[a, + \infty [$ on a $∥ u_{k} ∥_{\infty, [a, + \infty [} = \frac{1}{k ^{a}}$ , terme général d'une série de Riemann convergente ( $a > 1$ ) : la série $\sum u_{k}$ converge normalement sur $[a, + \infty [$ pour tout $a > 1$ .

Ce que le correcteur attend : le calcul exact de la borne supérieure, qui n'est pas atteinte, et la distinction entre convergence normale sur $] 1, + \infty [$ (fausse) et sur tout $[a, + \infty [$ , $a > 1$ (vraie).

Q2. Chaque $u_{k}$ est continue sur $] 1, + \infty [$ . Soit $a > 1$ : d'après Q1, $\sum u_{k}$ converge normalement, donc uniformément, sur $[a, + \infty [$ ; par le théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions uniformément convergente, $ζ$ est continue sur $[a, + \infty [$ . La continuité étant une propriété locale et tout $s_{0} > 1$ appartenant à un intervalle $[a, + \infty [$ avec $1 < a < s_{0}$ , $ζ$ est continue sur $] 1, + \infty [$ .

Q3. Pour $s > 1$ , tous les termes $\frac{1}{k ^{s}}$ sont strictement positifs, donc la somme est minorée par son premier terme :

$ζ (s) = 1 + k = 2 \sum + \infty \frac{1}{k ^{s}} ⩾ 1 > 0.$

Ainsi $ζ$ ne s'annule pas sur $] 1, + \infty [$ et y est strictement positive (et même $ζ (s) > 1$ ).

Q4. Écrivons $s = σ + i τ$ avec $σ = Re (s)$ , $τ = Im (s)$ . Comme $ln t \in R$ ,

$t^{s} = e^{σ l n t} e^{i τ l n t}, ∣ e^{i τ l n t} ∣ = 1,$

d'où $∣ t^{s} ∣ = e^{σ l n t} = t^{Re (s)}$ : le module ne dépend pas de $Im (s)$ .

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