Corrigé Centrale 2026 Maths 2 MP — Partie A — III et IV (Q11 à Q14) : Une intégrale de Riemann et une famille de disques

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $t > 0$ et $s \in C$ , $t^{s} = e^{s l n t}$ . Pour $d \in] 0, 1 [$ , $Δ_{d}$ est l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $s$ vérifie $d^{2} ∣ s ∣^{2} ⩾ 2 Re (s) - 1$ .

Q11. Pour $Re (s) > \frac{1}{2}$ , montrer que $t \mapsto t^{2 (s - 1)}$ est intégrable sur $] 0, 1]$ et calculer $\int_{0}^{1} ∣ t^{s - 1} ∣^{2} d t$ .
Q12. Montrer que $Δ_{d}$ est le complémentaire d'un disque $D_{d}$ dont on donnera le centre $O_{d}$ et le rayon $R_{d}$ .
Q13. Déterminer l'image de $] 0, 1 [$ par $g : d \mapsto \frac{1}{d ^{2}} - \frac{1 - d ^{2}}{d ^{2}}$ .
Q14. Déterminer $⋂_{d \in] 0, 1 [} Δ_{d}$ .

Corrigé

Q11. Notons $σ = Re (s) > \frac{1}{2}$ . La fonction $t \mapsto t^{2 (s - 1)} = e^{2 (s - 1) l n t}$ est continue sur $] 0, 1]$ et, d'après Q4 (appliquée à l'exposant $2 (s - 1)$ , de partie réelle $2 σ - 2$ ),

$t^{2 (s - 1)} = t^{2 σ - 2} .$

Comme $2 σ - 2 > - 1$ , la fonction $t \mapsto t^{2 σ - 2}$ est intégrable sur $] 0, 1]$ (intégrale de Riemann $\int_{0}^{1} t^{α} d t$ avec $α > - 1$ ) : $t \mapsto t^{2 (s - 1)}$ est donc intégrable sur $] 0, 1]$ .

De même $∣ t^{s - 1} ∣ = t^{σ - 1}$ , donc $∣ t^{s - 1} ∣^{2} = t^{2 σ - 2}$ et, puisque $2 σ - 1 > 0$ ,

$\int_{0}^{1} ∣ t^{s - 1} ∣^{2} d t = \int_{0}^{1} t^{2 σ - 2} d t = [\frac{t ^{2 σ - 1}}{2 σ - 1}]_{0^{+}}^{1} = \frac{1}{2 Re ( s ) - 1},$

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