Corrigé Centrale 2026 Maths 2 MP — Partie B — I (Q15 à Q21) : Transformée de Mellin des fonctions f_k

Q15. Pour $1⩽i⩽k$, $\lfloor i\rfloor =i$, donc $f_k\left(\frac{1}{i}\right)=\frac{i}{k}-\lfloor \frac{i}{k}\rfloor$.

• Si $1⩽i⩽k-1$ : $0<\frac{i}{k}<1$, donc $\lfloor \frac{i}{k}\rfloor =0$ et $f_k\left(\frac{1}{i}\right)=\frac{i}{k}$.
• Si $i=k$ : $f_k\left(\frac{1}{k}\right)=1-1=0$.

Q16. Soit $t\in ]0,1]$ et $n=\lfloor \frac{1}{kt}\rfloor \in \mathbb{N}$. Par définition de la partie entière, $n⩽\frac{1}{kt}<n+1$, soit, en multipliant par $k>0$ :

$$kn⩽\frac{1}{t}<kn+k.$$

Interprétons cet encadrement à l'aide de $\lfloor \frac{1}{t}\rfloor$, le plus grand entier inférieur ou égal à $\frac{1}{t}$ : l'entier $kn$ est $⩽\frac{1}{t}$, donc $kn⩽\lfloor \frac{1}{t}\rfloor$ ; et $\lfloor \frac{1}{t}\rfloor ⩽\frac{1}{t}<kn+k$, donc l'entier $\lfloor \frac{1}{t}\rfloor$ est $⩽kn+k-1$. Il existe donc un entier $r\in \{0,\dots ,k-1\}$ tel que

$$\lfloor \frac{1}{t}\rfloor =kn+r,\text{d’ouˋ}{f}_k(t)=\frac{kn+r}{k}-n=\frac{r}{k}.$$

Autrement dit, $k{f}_k(t)$ est le reste de la division euclidienne de $\lfloor \frac{1}{t}\rfloor$ par $k$, et $n=\lfloor \frac{1}{kt}\rfloor$ en est le quotient. Comme $0⩽r⩽k-1$ :

$$0⩽f_k(t)⩽\frac{k-1}{k}.$$

On retiendra aussi l'identité $\lfloor \frac{1}{kt}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor 1/t\rfloor }{k}\rfloor$.