Corrigé Centrale 2026 Maths 2 MP — Partie B — II et III (Q22 à Q26) : Prolongement de zêta et intégrale de f_k

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ici $s > 0$ est réel ; $f_{k}$ ( $k ⩾ 2$ ) est la fonction de la partie B.I.

Q22. Pour $k \in N^{*}$ et $h (t) = \frac{1}{t ^{s}}$ sur $] 0, + \infty [$ , déterminer $max_{[k, k + 1]} ∣ h^{'} ∣$ .
Q23. Montrer que $\sum_{k ⩾ 1} \int_{k}^{k + 1} (\frac{1}{k ^{s}} - \frac{1}{t ^{s}}) d t$ est une série à termes positifs convergente et que sa somme $G (s)$ vérifie $0 ⩽ G (s) ⩽ s ζ (s + 1)$ .
Q24. Pour $s > 1$ , établir $ζ (s) - G (s) = \frac{1}{s - 1}$ , puis $ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + O (1)$ quand $s \to 1^{+}$ .
(Le sujet définit ensuite $ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + G (s)$ pour $s \in C ∖ {1}$ , $0 < Re (s) ⩽ 1$ .)
Q25. Montrer que $\int_{0}^{1} f_{k} (t) t^{s - 1} d t \to \int_{0}^{1} f_{k} (t) d t$ quand $s \to 1^{+}$ .
Q26. En déduire, avec Q21 et Q24, que $\int_{0}^{1} f_{k} (t) d t = \frac{l n k}{k}$ .

Corrigé

Q22. La fonction $h : t \mapsto t^{- s} = e^{- s l n t}$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ avec $h^{'} (t) = - s t^{- s - 1}$ , donc $∣ h^{'} (t) ∣ = s t^{- s - 1}$ . Comme $- s - 1 < 0$ , $t \mapsto t^{- s - 1}$ est strictement décroissante : sur $[k, k + 1]$ , le maximum de $∣ h^{'} ∣$ est atteint en $t = k$ et vaut

$[k, k + 1] max ∣ h^{'} ∣ = \frac{s}{k ^{s + 1}} .$

Q23. Notons $w_{k} = \int_{k}^{k + 1} (\frac{1}{k ^{s}} - \frac{1}{t ^{s}}) d t$ , intégrale d'une fonction continue sur un segment. Comme $s > 0$ , $h$ est décroissante, donc pour $t \in [k, k + 1]$ , $h (t) ⩽ h (k)$ : l'intégrande est positif et $w_{k} ⩾ 0$ .

Par l'inégalité des accroissements finis appliquée à $h$ sur $[k, t] \subset [k, k + 1]$ et Q22 :

$0 ⩽ \frac{1}{k ^{s}} - \frac{1}{t ^{s}} = ∣ h (k) - h (t) ∣ ⩽ \frac{s}{k ^{s + 1}} (t - k),$

d'où, en intégrant sur $[k, k + 1]$ ,

$0 ⩽ w_{k} ⩽ \frac{s}{k ^{s + 1}} \int_{k}^{k + 1} (t - k) d t = \frac{s}{2 k ^{s + 1}} ⩽ \frac{s}{k ^{s + 1}} .$

La série $\sum \frac{1}{k ^{s + 1}}$ est une série de Riemann convergente ( $s + 1 > 1$ ), de somme $ζ (s + 1)$ . Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum w_{k}$ converge, et en sommant les inégalités :

$0 ⩽ G (s) = k = 1 \sum + \infty w_{k} ⩽ \frac{s}{2} ζ (s + 1) ⩽ s ζ (s + 1),$

ce qui établit l'encadrement demandé $0 ⩽ G (s) ⩽ s ζ (s + 1)$ (la majoration par $\frac{s}{2} ζ (s + 1)$ , plus fine, vient du facteur $\int_{k}^{k + 1} (t - k) d t = \frac{1}{2}$ ; on obtient la borne du sujet en majorant directement $t - k$ par $1$ ).

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