Corrigé Centrale 2026 Maths 2 MP — Partie C (Q27 à Q36) : Espace L², liberté des f_k et Gram-Schmidt

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$E$ est l'espace des fonctions réelles continues par morceaux sur $] 0, 1]$ , et $L^{2}$ l'ensemble des $f \in E$ telles que $\int_{0}^{1} f (t)^{2} d t$ converge. Les $f_{k}$ ( $k ⩾ 2$ ) sont celles de la partie B ; $1$ désigne la fonction constante égale à $1$ .

Q27. Vrai ou faux : a) toute fonction bornée est dans $L^{2}$ ; b) $E = L^{2}$ ; c) toute fonction intégrable sur $] 0, 1]$ est dans $L^{2}$ .
Q28. Pour $f, g \in L^{2}$ , montrer que $\int_{0}^{1} f g$ converge absolument (via $∣ f g ∣ ⩽ \frac{1}{2} (f^{2} + g^{2})$ ) et que $L^{2}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
Q29. Montrer que $(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t$ est une forme bilinéaire symétrique positive sur $L^{2}$ , mais pas un produit scalaire.
Soit $n ⩾ 2$ et des réels $(λ_{k})_{2 ⩽ k ⩽ n}$ tels que $\sum_{k = 2}^{n} λ_{k} f_{k} = 0$ sur $] 0, 1]$ .
Q30. En évaluant sur $] \frac{1}{2}, 1]$ , montrer que $\sum_{k = 2}^{n} \frac{λ _{k}}{k} = 0$ .
Q31. Pour $2 ⩽ ℓ ⩽ n - 1$ , établir $\sum_{k = ℓ + 1}^{n} λ_{k} \frac{ℓ}{k} + \sum_{k = 2}^{ℓ - 1} λ_{k} (\frac{ℓ}{k} - ⌊ \frac{ℓ}{k} ⌋) = 0$ .
Q32. Montrer que $λ_{2} = 0$ , puis que tous les $λ_{k}$ sont nuls. Quelle propriété de $(f_{k})_{k ⩾ 2}$ a-t-on établie ?
Soit $F = Vect (1, f_{2}, f_{3}, \dots) \subset L^{2}$ .
Q33. Montrer que $(\cdot ∣ \cdot)$ est un produit scalaire sur $F$ .
Q34. Montrer qu'il existe une unique famille orthonormale $(e_{k})_{2 ⩽ k ⩽ n}$ telle que, pour $2 ⩽ p ⩽ n$ , $Vect (e_{2}, \dots, e_{p}) = Vect (f_{2}, \dots, f_{p})$ et $(e_{p} ∣ f_{p}) > 0$ .
On note $d_{n}$ la distance de $1$ à $Vect (f_{2}, \dots, f_{n})$ .
Q35. Montrer que $d_{n}^{2} = 1 - \sum_{k = 2}^{n} (1 ∣ e_{k})^{2}$ .
Q36. Montrer que $(d_{n})$ converge.

Corrigé

I. Une forme bilinéaire symétrique positive.

Q27. a) Vrai. Si $f \in E$ et $∣ f ∣ ⩽ M$ sur $] 0, 1]$ , alors $f^{2}$ est continue par morceaux, positive et $0 ⩽ f^{2} ⩽ M^{2}$ ; la constante $M^{2}$ est intégrable sur l'intervalle borné $] 0, 1]$ , donc, par comparaison de fonctions positives, $\int_{0}^{1} f^{2}$ converge : $f \in L^{2}$ .

b) Faux. La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t}$ est continue sur $] 0, 1]$ , donc $f \in E$ , mais $f^{2} (t) = \frac{1}{t ^{2}}$ n'est pas intégrable sur $] 0, 1]$ (intégrale de Riemann $\int_{0}^{1} t^{- α} d t$ divergente pour $α = 2 ⩾ 1$ ) : $f \in / L^{2}$ . On a seulement $L^{2} ⊊ E$ .

c) Faux. La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t}$ est continue et intégrable sur $] 0, 1]$ (Riemann, $α = \frac{1}{2} < 1$ ), mais $f^{2} (t) = \frac{1}{t}$ n'est pas intégrable sur $] 0, 1]$ ( $α = 1$ ) : $f \in / L^{2}$ .

Q28. Pour $f, g \in L^{2}$ et $t \in] 0, 1]$ , $0 ⩽ (∣ f (t) ∣ - ∣ g (t) ∣)^{2} = f (t)^{2} + g (t)^{2} - 2∣ f (t) g (t) ∣$ , d'où

$∣ f (t) g (t) ∣ ⩽ \frac{1}{2} (f (t)^{2} + g (t)^{2}) .$

Les fonctions positives $f^{2}$ et $g^{2}$ ont une intégrale convergente sur $] 0, 1]$ , c'est-à-dire sont intégrables ; le membre de droite est donc intégrable, et $f g$ , continue par morceaux, l'est par comparaison : $\int_{0}^{1} f g$ converge absolument.

$L^{2}$ est une partie de l'espace vectoriel $E$ contenant la fonction nulle. Soient $f, g \in L^{2}$ et $λ \in R$ :

$(f + λ g)^{2} = f^{2} + 2 λ f g + λ^{2} g^{2}$

est combinaison linéaire de fonctions intégrables sur $] 0, 1]$ ( $f^{2}$ , $g^{2}$ , et $f g$ par ce qui précède), donc intégrable : $f + λ g \in L^{2}$ . Ainsi $L^{2}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Q29. Par Q28, $(f ∣ g)$ est bien défini pour $f, g \in L^{2}$ .

Symétrie : $f g = g f$ , donc $(f ∣ g) = (g ∣ f)$ .
Linéarité à gauche : pour $f, h, g \in L^{2}$ et $λ \in R$ , les intégrales $\int_{0}^{1} f g$ et $\int_{0}^{1} h g$ convergent, donc par linéarité de l'intégrale généralisée $(f + λh ∣ g) = (f ∣ g) + λ (h ∣ g)$ . Par symétrie, la forme est aussi linéaire à droite : elle est bilinéaire.
Positivité : $(f ∣ f) = \int_{0}^{1} f^{2} ⩾ 0$ .

Non définie. Soit $δ$ définie par $δ (t) = 0$ si $t \in] 0, 1 [$ et $δ (1) = 1$ . Elle est continue par morceaux sur $] 0, 1]$ (une seule discontinuité), bornée, donc dans $L^{2}$ par Q27 a), non nulle, et $(δ ∣ δ) = \int_{0}^{1} δ^{2} = 0$ , l'intégrale ne dépendant pas de la valeur en un point. Ce n'est donc pas un produit scalaire sur $L^{2}$ .

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