Corrigé Centrale 2026 Maths 2 MP — Partie D (Q37 à Q38) : Synthèse : un critère de non-annulation de zêta

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On admet l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour des fonctions $f, g$ continues par morceaux sur $] 0, 1]$ , à valeurs complexes, de carré de module intégrable : $\int_{0}^{1} f g^{2} ⩽ \int_{0}^{1} ∣ f ∣^{2} \times \int_{0}^{1} ∣ g ∣^{2}$ . Les notations $f_{k}$ , $d_{n}$ , $ζ$ (prolongée en partie B.II) sont celles des parties précédentes ; $n ⩾ 2$ .

Q37. Pour des réels $(λ_{k})_{2 ⩽ k ⩽ n}$ et $s \in C$ avec $Re (s) > \frac{1}{2}$ , justifier

$\int_{0}^{1} (1 - k = 2 \sum n λ_{k} f_{k} (t)) t^{s - 1} d t^{2} ⩽ \int_{0}^{1} (1 - k = 2 \sum n λ_{k} f_{k} (t))^{2} d t \times \int_{0}^{1} ∣ t^{2 (s - 1)} ∣ d t .$

On suppose par l'absurde que $s \neq = 1$ , $Re (s) > \frac{1}{2}$ et $ζ (s) = 0$ ; on admet que l'égalité de Q21 reste vraie pour tout $s \in C ∖ {1}$ de partie réelle strictement positive.
Q38. Établir $d_{n}^{2} ∣ s ∣^{2} ⩾ 2 Re (s) - 1$ , puis conclure si $d_{n} \to 0$ .

Corrigé

Q37. Posons $σ = Re (s) > \frac{1}{2}$ , $f = 1 - \sum_{k = 2}^{n} λ_{k} f_{k}$ et $g : t \mapsto t^{s - 1}$ sur $] 0, 1]$ .

$f$ est réelle, continue par morceaux (combinaison linéaire de telles fonctions, Q18) et bornée, par $1 + \sum_{k} ∣ λ_{k} ∣$ d'après Q16 ; donc $∣ f ∣^{2} = f^{2}$ est intégrable sur $] 0, 1]$ (Q27 a).
$g$ est continue sur $] 0, 1]$ et, par Q4, $∣ g (t) ∣^{2} = t^{2 σ - 2} = ∣ t^{2 (s - 1)} ∣$ , intégrable sur $] 0, 1]$ puisque $2 σ - 2 > - 1$ (Q11).

Les hypothèses de l'inégalité de Cauchy-Schwarz admise sont satisfaites (le produit $f g$ est d'ailleurs intégrable, car $∣ f g ∣ ⩽ ∥ f ∥_{\infty} t^{σ - 1}$ avec $σ - 1 > - \frac{1}{2} > - 1$ ). Elle donne

$\int_{0}^{1} f (t) t^{s - 1} d t^{2} ⩽ \int_{0}^{1} f (t)^{2} d t \times \int_{0}^{1} ∣ t^{2 (s - 1)} ∣ d t,$

qui est l'inégalité demandée, puisque $∣ f ∣^{2} = f^{2}$ pour une fonction réelle et $∣ t^{s - 1} ∣^{2} = ∣ t^{2 (s - 1)} ∣$ .

Q38. Calcul de l'intégrale de gauche. Soient des réels $(λ_{k})_{2 ⩽ k ⩽ n}$ .

Pour $k ⩾ 2$ , l'égalité de Q21, admise pour $s$ complexe distinct de $1$ de partie réelle $> 0$ , et l'hypothèse $ζ (s) = 0$ donnent

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