Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PC — Partie A (Q1 à Q7) : Construction d'une fonction test : e^(-1/x) de classe C-infini, fonctions plateau, noyau régularisant

Q1. L'ensemble ${\mathbb{R}}^{\ast }$ est la réunion des deux intervalles ouverts $]-\infty ,0[$ et $]0,+\infty [$ ; la classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ étant une propriété locale, il suffit de l'établir sur chacun d'eux.

• Sur $]-\infty ,0[$, $\phi$ est la fonction nulle, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$.
• Sur $]0,+\infty [$, $\phi =\exp \circ u$ avec $u:x\mapsto -1/x$, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$ (fonction rationnelle sans pôle sur cet intervalle), et $\exp$ de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ ; par composition, $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$.

Donc $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Q2. Récurrence sur $n$. Pour $n=0$, $P_0=1$ convient. Supposons ${\phi }^{(n)}(x)=P_n(1/x){\mathrm{e}}^{-1/x}$ pour tout $x>0$. Le membre de droite est dérivable sur $]0,+\infty [$ ; comme la dérivée de $x\mapsto 1/x$ est $x\mapsto -1/x^2$ et celle de $x\mapsto -1/x$ est $x\mapsto 1/x^2$, on obtient pour $x>0$ :

$${\phi }^{(n+1)}(x)=-\frac{1}{x^2}{P}_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x}+\frac{1}{x^2}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x}=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x},$$

avec $P_{n+1}=X^2(P_n-P_n^{\prime })\in \mathbb{R}[X]$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. (Par exemple $P_1=X^2$, $P_2=X^4-2X^3$.)

Q3. Limite de chaque dérivée en $0$. Pour tout $n$, en posant $u=1/x\to +\infty$ quand $x\to 0^{+}$,

$${\phi }^{(n)}(x)=P_n(u){\mathrm{e}}^{-u}\underset{x\to 0^{+}}{\to }0$$

par croissances comparées (pour tout $k\in \mathbb{N}$, $u^k{\mathrm{e}}^{-u}\to 0$ en $+\infty$, et $P_n(u){\mathrm{e}}^{-u}$ est une combinaison linéaire finie de tels termes). Pour $x<0$, ${\phi }^{(n)}(x)=0$. Ainsi ${\phi }_{|{\mathbb{R}}^{\ast }}^{(n)}$ tend vers $0$ en $0$.