Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PC — Partie B (Q8 à Q13) : Distributions sur R : Dirac, distribution associée à une fonction, valeur principale de 1/x

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour un segment $K \subset R$ , $D (K)$ est l'ensemble des $φ \in D (R)$ nulles hors de $K$ . Une distribution est une forme linéaire $T$ sur $D (R)$ telle que, pour tout segment $K$ , il existe $C_{K} > 0$ et $N_{K} \in N$ avec

$\forall φ \in D (K), ∣ T (φ) ∣ ⩽ C_{K} 0 ⩽ i ⩽ N_{K} max ∥ φ^{(i)} ∥_{\infty} .$

On note $D^{'} (R)$ leur ensemble. Les fonctions $ρ_{ε}$ sont celles de la partie A.
Q8. Montrer que $D^{'} (R)$ est un espace vectoriel.
Q9. Pour $a \in R$ , montrer que $δ_{a} : f \mapsto f (a)$ est une distribution.
Q10. Pour $f$ continue par morceaux sur $R$ , justifier que $T_{f} : φ \mapsto \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) φ (t) d t$ est bien définie et est une distribution (distribution associée à $f$ ).
Q11. Montrer que si $f_{1}, f_{2}$ sont continues et $T_{f_{1}} = T_{f_{2}}$ , alors $f_{1} = f_{2}$ .
Q12. Pour $φ \in D (R)$ , on pose $ψ (x) = \frac{φ ( x ) - φ ( 0 )}{x}$ si $x \neq = 0$ et $ψ (0) = φ^{'} (0)$ . (a) Montrer que $ψ (x) = \int_{0}^{1} φ^{'} (t x) d t$ . (b) En déduire que $ψ \in C^{\infty} (R)$ .
Q13. (a) Pour $φ \in D (R)$ , justifier l'existence de $V (φ) = lim_{ε \to 0^{+}} (\int_{- \infty}^{- ε} \frac{φ ( x )}{x} d x + \int_{ε}^{+ \infty} \frac{φ ( x )}{x} d x)$ . (b) Montrer que $V$ est une distribution.

Corrigé

Remarque préliminaire.

Si $φ \in D (R)$ est nulle hors de $[- A, A]$ , chaque dérivée $φ^{(i)}$ est nulle sur l'ouvert ${∣ x ∣ > A}$ (dérivée d'une fonction nulle sur un intervalle ouvert), donc $φ^{(i)} \in D (R)$ ; étant continue et nulle hors du segment $[- A, A]$ , elle est bornée, et $∥ φ^{(i)} ∥_{\infty}$ est fini. De même, si $K = [c, d]$ et $φ \in D (K)$ , $φ$ est nulle sur l'ouvert $R ∖ K =] - \infty, c [\cup] d, + \infty [$ , donc $φ^{(i)} \in D (K)$ pour tout $i$ .

Q8. L'ensemble $L (D (R), R)$ des formes linéaires sur $D (R)$ est un espace vectoriel ; montrons que $D^{'} (R)$ en est un sous-espace vectoriel.

La forme nulle est une distribution : $∣0∣ ⩽ 1 \cdot ∥ φ ∥_{\infty}$ ( $C_{K} = 1$ , $N_{K} = 0$ ).
Soient $T_{1}, T_{2} \in D^{'} (R)$ , $λ, μ \in R$ et $K$ un segment, avec des constantes $(C_{1}, N_{1})$ pour $T_{1}$ et $(C_{2}, N_{2})$ pour $T_{2}$ . Posons $N = max (N_{1}, N_{2})$ et $C = ∣ λ ∣ C_{1} + ∣ μ ∣ C_{2} + 1 > 0$ . Pour $φ \in D (K)$ , comme $max_{i ⩽ N_{j}} ∥ φ^{(i)} ∥_{\infty} ⩽ max_{i ⩽ N} ∥ φ^{(i)} ∥_{\infty}$ pour $j = 1, 2$ ,

$∣ (λ T_{1} + μ T_{2}) (φ) ∣ ⩽ ∣ λ ∣ ∣ T_{1} (φ) ∣ + ∣ μ ∣ ∣ T_{2} (φ) ∣ ⩽ (∣ λ ∣ C_{1} + ∣ μ ∣ C_{2}) 0 ⩽ i ⩽ N max ∥ φ^{(i)} ∥_{\infty} ⩽ C 0 ⩽ i ⩽ N max ∥ φ^{(i)} ∥_{\infty} .$

La forme linéaire $λ T_{1} + μ T_{2}$ est donc une distribution : $D^{'} (R)$ est un sous-espace vectoriel de $L (D (R), R)$ , donc un espace vectoriel.

Ce que le correcteur attend : prendre le maximum des deux ordres $N_{1}, N_{2}$ , et une constante strictement positive (le cas $λ = μ = 0$ l'exige).

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