Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PC — Partie C (Q14 à Q23) : Dérivée d'une distribution : |x|, Heaviside et Dirac, distributions de dérivée nulle

Rappelons (partie B) que pour $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ nulle hors de $[-A,A]$, toutes les dérivées ${\phi }^{(i)}$ sont dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$, nulles hors de $[-A,A]$, et que $\phi \in \mathcal{D}(K)\Rightarrow {\phi }^{\prime }\in \mathcal{D}(K)$ pour tout segment $K$. On utilisera aussi la linéarité de $f\mapsto T_f$ (Q10) et celle de $T\mapsto T^{\prime }$ : $(\lambda S+\mu T{)}^{\prime }(\phi )=-\lambda S({\phi }^{\prime })-\mu T({\phi }^{\prime })=(\lambda S^{\prime }+\mu T^{\prime })(\phi )$.

Q14. Linéarité : $\phi \mapsto {\phi }^{\prime }$ est linéaire de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$, et $T$ est linéaire, donc $T^{\prime }=-T\circ (\phi \mapsto {\phi }^{\prime })$ est une forme linéaire sur $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.

Majoration. Soit $K$ un segment, et $(C_K,N_K)$ les constantes de $T$. Pour $\phi \in \mathcal{D}(K)$, on a ${\phi }^{\prime }\in \mathcal{D}(K)$, donc

$$\begin{array}{rl}|T^{\prime }(\phi )|=|T({\phi }^{\prime })|& ⩽C_K\underset{0⩽i⩽N_K}{\max }\Vert ({\phi }^{\prime }{)}^{(i)}{\Vert }_{\infty }\\ & =C_K\underset{1⩽i⩽N_K+1}{\max }\Vert {\phi }^{(i)}{\Vert }_{\infty }⩽C_K\underset{0⩽i⩽N_K+1}{\max }\Vert {\phi }^{(i)}{\Vert }_{\infty }.\end{array}$$

Les constantes $C_K$ et $N_K+1$ conviennent : $T^{\prime }\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$.

Q15. Soit $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, nulle hors de $[-A,A]$. Les fonctions $f$ et $\phi$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[-A,A]$ ; par intégration par parties,

$$\begin{array}{rl}{T}_f^{\prime }(\phi )=-{\int }_{-A}^{A}f(t){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t& =-[f(t)\phi (t){]}_{-A}^A+{\int }_{-A}^A{f}^{\prime }(t)\phi (t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{\prime }(t)\phi (t)\mathrm{d}t=T_{f^{\prime }}(\phi ),\end{array}$$

le crochet étant nul car $\phi (\pm A)=0$ (par continuité de $\phi$, nulle hors de $[-A,A]$). La fonction $f^{\prime }$ est continue, donc $T_{f^{\prime }}$ est défini (Q10), et $T_f^{\prime }=T_{f^{\prime }}$.

Q16. (a) En $0$, $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}$ vaut $1$ si $h>0$ et $-1$ si $h<0$ : le taux d'accroissement a pour limites $1$ à droite et $-1$ à gauche, distinctes. La fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$, donc pas dérivable sur $\mathbb{R}$.