Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PC — Partie D (Q24 à Q27) : Suites de distributions : dérivation, convergence uniforme et en norme 2

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une suite $(T_{n})$ de distributions converge vers la distribution $T$ , ce qu'on note $lim T_{n} = D T$ , si $T_{n} (φ) \to T (φ)$ pour tout $φ \in D (R)$ . Notations $T_{f}$ , $T^{'}$ des parties B et C.
Q24. Si $lim T_{n} = D T$ , montrer que $lim T_{n}^{'} = D T^{'}$ .
Q25. Donner une suite $(f_{n})$ de fonctions continues sur $R$ qui ne converge pas simplement sur $R$ mais telle que $(T_{f_{n}})$ converge vers la distribution nulle.
Q26. Si $(f_{n})$ , continues, converge uniformément sur $R$ vers $f$ continue, montrer que $lim T_{f_{n}} = D T_{f}$ .
Pour $f$ continue avec $f^{2}$ intégrable sur $R$ , on pose $∥ f ∥_{2} = (\int_{- \infty}^{+ \infty} f^{2})^{1/2}$ ; $(f_{n})$ converge en norme 2 vers $f$ continue si les $(f_{n} - f)^{2}$ sont intégrables sur $R$ et $∥ f_{n} - f ∥_{2} \to 0$ .
Q27. Si $(f_{n})$ , continues, converge en norme 2 vers $f$ continue, montrer que $lim T_{f_{n}} = D T_{f}$ (on peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales sur un segment).

Corrigé

Dans toute la partie, $φ \in D (R)$ est fixée, nulle hors de $[- A, A]$ ( $A > 0$ ) ; on rappelle que $φ^{'} \in D (R)$ (partie B) et que, pour $g$ continue par morceaux, $T_{g} (φ) = \int_{- A}^{A} g φ$ .

Q24. Les $T_{n}^{'}$ et $T^{'}$ sont des distributions (Q14). Comme $φ^{'} \in D (R)$ , l'hypothèse appliquée à la fonction test $φ^{'}$ donne

$T_{n}^{'} (φ) = - T_{n} (φ^{'}) n \to + \infty - T (φ^{'}) = T^{'} (φ) .$

Ceci valant pour toute $φ \in D (R)$ , $lim T_{n}^{'} = D T^{'}$ .

Q25. Prenons $f_{n} (x) = cos (n x)$ , continue sur $R$ .

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