Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PC — Partie E (Q28 à Q34) : Théorème d'unicité de Cantor pour les séries trigonométriques

On note $u_n(x)=a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)$ et $S_N={\sum }_{n=1}^N{u}_n$ ; l'hypothèse s'écrit : pour tout $x\in \mathbb{R}$, $S_N(x)\to 0$ quand $N\to +\infty$.

Q28. (a) Pour $x=0$, $u_n(0)=a_n$ : la série $\sum a_n$ converge, donc son terme général tend vers $0$ : $a_n\to 0$.

(b) Soit $x\in [0,2\pi ]$. La série $\sum u_n(x)$ converge, donc $u_n(x)\to 0$. De plus $|a_n\cos (nx)|⩽|a_n|\to 0$ d'après (a). Par différence, $b_n\sin (nx)=u_n(x)-a_n\cos (nx)\to 0$.

(c) Dire que $(b_n)$ ne tend pas vers $0$, c'est dire : il existe $\epsilon >0$ tel que pour tout $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, il existe $n⩾N$ avec $|b_n|⩾\epsilon$. On construit $\phi$ par récurrence : $\phi (1)$ est un entier $n⩾1$ tel que $|b_n|⩾\epsilon$ ; $\phi (1),\dots ,\phi (k)$ étant construits, $\phi (k+1)$ est un entier $n⩾\phi (k)+1$ tel que $|b_n|⩾\epsilon$. Alors $\phi :{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ est strictement croissante et $|b_{\phi (n)}|⩾\epsilon$ pour tout $n$.

(d) Soit $x\in [0,2\pi ]$. Comme $\phi$ est strictement croissante à valeurs entières, $\phi (n)⩾n\to +\infty$, donc $(b_{\phi (n)}\sin (\phi (n)x){)}_n$ est une suite extraite de $(b_m\sin (mx){)}_m$, qui tend vers $0$ par (b). Alors

$$0⩽{\sin }^2(\phi (n)x)=\frac{(b_{\phi (n)}\sin (\phi (n)x){)}^2}{b_{\phi (n)}^2}⩽\frac{(b_{\phi (n)}\sin (\phi (n)x){)}^2}{{\epsilon }^2}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

Appliquons le théorème de convergence dominée sur le segment $[0,2\pi ]$ à $g_n:x\mapsto {\sin }^2(\phi (n)x)$ :

• les $g_n$ sont continues sur $[0,2\pi ]$ ;
• $(g_n)$ converge simplement sur $[0,2\pi ]$ vers la fonction nulle, continue ;
• domination : $|g_n(x)|⩽1$ pour tous $n,x$, et la constante $1$ est intégrable sur le segment $[0,2\pi ]$.

Donc ${\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(\phi (n)x)\mathrm{d}x\to 0$.

(e) Or, pour tout $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, en linéarisant ${\sin }^2=\frac{1-\cos (2\cdot )}{2}$ :

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(mx)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos (2mx)}{2}\mathrm{d}x=\pi -[\frac{\sin (2mx)}{4m}{]}_0^{2\pi }=\pi .$$

La suite de (d) est donc constante égale à $\pi \ne 0$ : contradiction. Ainsi $b_n\to 0$, et les deux suites $(a_n)$, $(b_n)$ tendent vers $0$.

Q29. Intégrales de référence. Pour $m\in \mathbb{Z}$, ${\int }_0^{2\pi }\cos (mx)\mathrm{d}x$ vaut $2\pi$ si $m=0$ et $0$ sinon, et ${\int }_0^{2\pi }\sin (mx)\mathrm{d}x=0$. Pour $n,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, en linéarisant :

$$\begin{array}{rl}\cos (nx)\cos (kx)& =\frac{1}{2}[\cos ((n-k)x)+\cos ((n+k)x)],\\ \sin (nx)\cos (kx)& =\frac{1}{2}[\sin ((n+k)x)+\sin ((n-k)x)],\\ \sin (nx)\sin (kx)& =\frac{1}{2}[\cos ((n-k)x)-\cos ((n+k)x)],\\ \cos (nx)\sin (kx)& =\frac{1}{2}[\sin ((n+k)x)-\sin ((n-k)x)].\end{array}$$

Comme $n+k⩾2$, on obtient ${\int }_0^{2\pi }\cos (nx)\cos (kx)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }\sin (nx)\sin (kx)\mathrm{d}x=\pi {\delta }_{n,k}$ et ${\int }_0^{2\pi }\sin (nx)\cos (kx)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }\cos (nx)\sin (kx)\mathrm{d}x=0$.

Interversion. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour tout $x$, $|u_n(x)\cos (kx)|⩽|a_n|+|b_n|$, terme général d'une série convergente : la série de fonctions continues $\sum u_n(x)\cos (kx)$ converge normalement, donc uniformément, sur le segment $[0,2\pi ]$. Par le théorème d'intégration terme à terme sur un segment,