Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PSI — Partie A (Q1 à Q8) : Un produit scalaire à poids de Jacobi sur R[X] : intégrales de Riemann, deux exemples

Q1. C'est l'intégrale de Riemann de référence en $0^{+}$ : ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\delta }}$ converge si et seulement si $\delta <1$, et alors

$${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t^{\delta }}=[\frac{t^{1-\delta }}{1-\delta }{]}_0^1=\frac{1}{1-\delta }.$$

Q2. Coquille du sujet. L'énoncé écrit « $a\in \mathbb{R}$ », mais l'intégrande n'a de sens que si $a-t>0$ sur l'intervalle d'intégration, c'est-à-dire pour $a>0$ (pour $a=0$ l'intégrale sur $[0,0]$ est nulle ; pour $a<0$, $a-t⩽0$ sur $[a,0]$ et $(a-t{)}^{\delta }$ n'est pas défini si $\delta \notin \mathbb{Z}$). On traite donc $a>0$, seul cas utile : le sujet applique ce résultat avec $a=1$ en Q3.

Soit $a>0$. La fonction $t\mapsto (a-t{)}^{-\delta }$ est continue sur $[0,a[$ (on a $a-t>0$) ; le seul problème est en $a^{-}$. Le changement de variable $u=a-t$, bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ strictement décroissante de $[0,a[$ sur $]0,a]$, montre que ${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}t}{(a-t{)}^{\delta }}$ a la même nature que ${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}u}{u^{\delta }}$, et la même valeur en cas de convergence. Le seul problème de cette dernière est en $0^{+}$ ; par la relation de Chasles, sa nature est celle de ${\int }_0^{\min (a,1)}\frac{\mathrm{d}u}{u^{\delta }}$, c'est-à-dire, d'après Q1, la convergence si et seulement si

$$\boxed{\delta <1},\text{et alors}{\int }_0^a\frac{\mathrm{d}t}{(a-t{)}^{\delta }}={\int }_0^a\frac{\mathrm{d}u}{u^{\delta }}=[\frac{u^{1-\delta }}{1-\delta }{]}_0^a=\frac{a^{1-\delta }}{1-\delta }.$$