Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PSI — Partie B (Q9 à Q10) : Formule de Vandermonde par dénombrement et coefficients binomiaux généralisés

Formule de Vandermonde : pour $(k,m,p)\in {\mathbb{N}}^3$ avec $k⩽m+p$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+p}{k}\right)={\sum }_{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{j}\right)$.

Q9. Démontrer cette formule (on pourra partitionner un ensemble à $m+p$ éléments).

Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\ell \in \mathbb{N}$, on pose $B_{\ell }^{\lambda }=\frac{\lambda (\lambda -1)\cdots (\lambda -\ell +1)}{\ell !}$ si $\ell >0$ et $B_0^{\lambda }=1$ (par exemple $B_3^{1/2}=\frac{1}{16}$).

Q10. Pour $k⩽n$ entiers naturels, comparer $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ et $B_k^n$.

On admet la formule de Vandermonde généralisée : pour $k\in \mathbb{N}$ et $(s,t)\in {\mathbb{R}}^2$ avec $k⩽s+t$, $B_k^{s+t}={\sum }_{j=0}^k{B}_{k-j}^s{B}_j^t$.