Corrigé Centrale 2026 Maths 2 PSI — Partie C (Q11 à Q19) : Polynômes orthogonaux par Gram-Schmidt : degré, relation à trois termes, racines dans ]-1,1[

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Maths 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ , $E = R_{n} [X]$ muni du produit scalaire de Q4. Le procédé de Gram-Schmidt fournit une base orthonormale $(P_{0}, \dots, P_{n})$ de $E$ telle que, pour tout $k \in [[0, n]]$ : (i) $Vect (P_{0}, \dots, P_{k}) = Vect (1, X, \dots, X^{k})$ ; (ii) $⟨ P_{k}, X^{k} ⟩ > 0$ .

Q11. Montrer que $de g P_{k} = k$ pour tout $k \in [[0, n]]$ .
Q12. Montrer que $P_{k} \in Vect (1, X, \dots, X^{k - 1})^{⊥}$ pour $k \in [[1, n]]$ .
Q13. Soit $k \in [[1, n]]$ et $Q \in Vect (1, \dots, X^{k - 1})^{⊥}$ de degré $k$ . Montrer que $Q = α_{k} P_{k}$ pour un réel $α_{k}$ .

Soit $k \in [[1, n - 1]]$ .
Q14. Montrer qu'il existe $a_{k} \in R$ tel que $de g (P_{k + 1} - a_{k} X P_{k}) ⩽ k$ .
Q15. Montrer qu'il existe $(b_{k}, c_{k}) \in R^{2}$ tel que $P_{k + 1} = (a_{k} X + b_{k}) P_{k} + c_{k} P_{k - 1}$ .

Soit $k \in [[1, n]]$ ; $m$ est le nombre de racines de $P_{k}$ dans $] - 1, 1 [$ , comptées avec multiplicité, notées $x_{1}, \dots, x_{m}$ .
Q16. Quelle inégalité relie $k$ et $m$ ?
Q17. Soit $S = (X - x_{1}) \dots (X - x_{m})$ ( $S = 1$ si $m = 0$ ). Signe de $x \mapsto P_{k} (x) S (x)$ sur $] - 1, 1 [$ ?
Q18. En déduire $⟨ P_{k}, S ⟩ \neq = 0$ . Q19. Que conclure sur $m$ ?

Corrigé

Notations : $w (t) = (1 - t)^{α} (1 + t)^{β} > 0$ sur $] - 1, 1 [$ , et $R_{j} [X] = Vect (1, X, \dots, X^{j})$ .

Q11. Par (i), $P_{k} \in Vect (P_{0}, \dots, P_{k}) = R_{k} [X]$ , donc $de g P_{k} ⩽ k$ . Pour $k = 0$ : $P_{0}$ est une constante non nulle ( $∥ P_{0} ∥ = 1$ ), de degré $0$ . Pour $k ⩾ 1$ , supposons par l'absurde $de g P_{k} ⩽ k - 1$ . Alors $P_{k} \in R_{k - 1} [X] = Vect (P_{0}, \dots, P_{k - 1})$ par (i) au rang $k - 1$ . Or la famille est orthonormale, donc $P_{k}$ est orthogonal à $P_{0}, \dots, P_{k - 1}$ , donc à leur vect, donc à lui-même : $∥ P_{k} ∥^{2} = 0$ , ce qui contredit $∥ P_{k} ∥ = 1$ . Ainsi $de g P_{k} = k$ .

Q12. Soit $k \in [[1, n]]$ . Pour $j < k$ , $⟨ P_{k}, P_{j} ⟩ = 0$ (famille orthonormale). Par linéarité, $P_{k}$ est orthogonal à $Vect (P_{0}, \dots, P_{k - 1})$ , qui vaut $R_{k - 1} [X] = Vect (1, X, \dots, X^{k - 1})$ d'après (i). Donc $P_{k} \in Vect (1, X, \dots, X^{k - 1})^{⊥}$ .

Q13. Comme $de g Q = k ⩽ n$ , $Q \in R_{k} [X]$ , dont $(P_{0}, \dots, P_{k})$ est une base orthonormale (par (i)). On a donc la décomposition dans une base orthonormale

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